在矩形 ABCD中,两条对角线交于点 O,∠AOD= 120°,AB= 4.求:若过O垂直于BD的直线交AD于E,交BC于F.求证：EF＝BF,OF=CF；若将矩形沿直线MN折叠,使顶点 B与D重合,M,N交AD于M,交BC于N．求折痕MN长．

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/14 03:52:19

在矩形 ABCD中,两条对角线交于点 O,∠AOD= 120°,AB= 4.求:若过O垂直于BD的直线交AD于E,交BC于F.求证：EF＝BF,OF=CF；若将矩形沿直线MN折叠,使顶点 B与D重合,M,N交AD于M,交BC于N．求折痕MN长．
在矩形 ABCD中,两条对角线交于点 O,∠AOD= 120°,AB= 4.求:
若过O垂直于BD的直线交AD于E,交BC于F.求证：EF＝BF,OF=CF；
若将矩形沿直线MN折叠,使顶点 B与D重合,M,N交AD于M,交BC于N．求折痕MN长．

在矩形 ABCD中,两条对角线交于点 O,∠AOD= 120°,AB= 4.求:若过O垂直于BD的直线交AD于E,交BC于F.求证：EF＝BF,OF=CF；若将矩形沿直线MN折叠,使顶点 B与D重合,M,N交AD于M,交BC于N．求折痕MN长．
连接BE
因为,矩形 ABCD两对角线交于点 O,且∠AOD= 120°
所以,∠AOB=60 ,∠OAD=∠OCB=30 ,∠OAB=∠OBA=60 ,∠ADO=∠OBC=30
所以,AB=OB
又,EF垂直BD于O,
所以,∠AOE=∠COF=120-90=30
所以,∠OCF=∠COF,∠OFC=∠AEO=120
所以,OF=CF ,∠BFE=60
又因为,∠BAD=∠BOE=90 BE=BE
所以,△ABE≌△BOE
所以,∠ABE=∠OBE=1/2∠AOB=30
所以,∠EBF=60
所以,∠BEF=60
所以,△BEF为等边三角形
所以,EF=BF=BE
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连接BM,ND,并过M最ME垂直BC于E,
得四边形BNDM,且BNDM为平行四边形
所以,MN、BD相互平分
又,AB=4,∠ADB=30
所以,得BD=8 AD=4根号3 OB=OD=4 ∠BDM=∠BDN=30,
所以,∠BMD=120
所以,∠BMD=∠BNM=∠MBN=60,∠BME=∠ABM=30
所以,MN=BN=BM
MN=4/cos30=(8倍根号3)/3