在△ABC中,求证：a × cos²(C/2) + c × cos²(A/2) = (a + b + c)/2

在△ABC中,求证：a × cos²(C/2) + c × cos²(A/2) = (a + b + c)/2
在△ABC中,求证：a × cos²(C/2) + c × cos²(A/2) = (a + b + c)/2

在△ABC中,求证：a × cos²(C/2) + c × cos²(A/2) = (a + b + c)/2
分析：本题主要注意两点：
①公式cos2a = 2cos²a - 1 的应用,
该公式可引申为 cosa = 2cos²(a/2) - 1
②余弦定理公式的应用.
证明：
∵cosa = 2cos²(a/2) - 1
∴2cos²(a/2) = 1 + cosa
∴2cos²(C/2) = 1 + cosC 且 2cos²(A/2) = 1 + cosA
欲证a × cos²(C/2) + c × cos²(A/2) = (a + b + c)/2
两边同乘以2,故只需证a × 2cos²(C/2) + c × 2cos²(A/2) = (a + b + c)即可.
a × 2cos²(C/2) + c × 2cos²(A/2)
=a × ( 1 + cosC) + c × ( 1 + cosA)
=a × [1 + (a² + b² - c²)/2ab] + c × [1 + (b² + c² - a²)/2bc]
=a + [(a² + b² - c²)/2b] + c + [(b² + c² - a²)/2b]
=a + c + [(a² + b² - c²)/2b] + [(b² + c² - a²)/2b]
=a + c + (2b²)/2b
=a + b + c
∴a × 2cos²(C/2) + c × 2cos²(A/2) = (a + b + c)
∴a × cos²(C/2) + c × cos²(A/2) = (a + b + c)/2
即原命题成立.