作业帮已知a+b=1证:(1).1/a^2 +1/b^2≥8(2).(a+ 1/a)(b+ 1/b)≥25/4
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 01:13:48
已知a+b=1证:(1).1/a^2 +1/b^2≥8(2).(a+ 1/a)(b+ 1/b)≥25/4
已知a+b=1
证:
(1).1/a^2 +1/b^2≥8
(2).(a+ 1/a)(b+ 1/b)≥25/4
已知a+b=1证:(1).1/a^2 +1/b^2≥8(2).(a+ 1/a)(b+ 1/b)≥25/4
1/a^2 +1/b^2>=(1/2)(1/a+1/b)^2>=(1/2)(4/(a+b))^2=8
a+b=1
ab<=1/4
(a+ 1/a)(b+ 1/b)
=ab+1/ab+2
>=1/4+4+2
=25/4
(1):
1/a^2 +1/b^2
=(a+b)^2/a^2+(a+b)^2/b^2
=1+b^2/a^2+2b/a+1+a^2/b^2+2a/b
=(b^2/a^2+a^2/b^2)+(2b/a+2a/b)+2
在两个括号中用均值不等式：
>=2+4+2=8
a=b=1/2时等号成立。
(2):
(a+ 1/a)(b+ 1/...
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(1):
1/a^2 +1/b^2
=(a+b)^2/a^2+(a+b)^2/b^2
=1+b^2/a^2+2b/a+1+a^2/b^2+2a/b
=(b^2/a^2+a^2/b^2)+(2b/a+2a/b)+2
在两个括号中用均值不等式：
>=2+4+2=8
a=b=1/2时等号成立。
(2):
(a+ 1/a)(b+ 1/b)
=[(a^2+1)/a][(b^2+1)/b]
=[(a^2+1/4)/a+3/4a][(b^+1/4)/b+3/4b]
上式小括号中用均值不等式：
>=(1+3/4a)(1+3/4b)
=[1+3(a+b)/4a][1+3(a+b)/4b]
=(7/4+3b/4a)(7/4+3a/4b)
=49/16+9/16+(21/16)(a/b+b/a)
上式右端再用均值不等式：
>=49/16+9/16+42/16
=100/16=25/4
当a=b=1/2时等号成立。
证毕。
(这道题必须要求a,b都是正数，否则不成立了)
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