作业帮函数f(x)=(cosx)^(1/x^2)(x不等于0),f(x)=a(x=0时),在x=0处连续,求a.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 09:56:44
函数f(x)=(cosx)^(1/x^2)(x不等于0),f(x)=a(x=0时),在x=0处连续,求a.
函数f(x)=(cosx)^(1/x^2)(x不等于0),f(x)=a(x=0时),在x=0处连续,求a.
函数f(x)=(cosx)^(1/x^2)(x不等于0),f(x)=a(x=0时),在x=0处连续,求a.
答：
x≠0,f(x)=(cosx)^(1/x^2)
x=0,f(x)=a
f(x)在x=0处连续,则有：
lim(x→0) (cosx)^(1/x^2)=f(0)=a
lim(x→0) [1-2sin²(x/2)]^(1/x²)=a
lim(x→0) [1-2*(x/2)²]^(1/x²)=a
lim(x→0) [(1-x²/2)^(-2/x²) ]^(-1/2)=a
所以：e^(-1/2)=a
所以：a=1/√e
x-->+0
f(x)=(cos0)^(+∞)=1
x-->-0
f(x)=(cos0)^(-∞)=1
f(x-->0)=1
a=1
这个，x=0处连续表示在x=0处极限存在。
当x趋近于0时，f(x)的分子，分母都趋近于0，于是就是0/0型极限问题了。
于是可以使用洛必达法则，对分子分母同时求导，得到sin(x)/2x。由公式sin(x)/x 在x趋于0时的极限为1可知：
sin(x)/2x值为1/2.
也即：f(x)在x趋近于0时的极限为1/2。故A=1/2。答案是错的哦...
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这个，x=0处连续表示在x=0处极限存在。
当x趋近于0时，f(x)的分子，分母都趋近于0，于是就是0/0型极限问题了。
于是可以使用洛必达法则，对分子分母同时求导，得到sin(x)/2x。由公式sin(x)/x 在x趋于0时的极限为1可知：
sin(x)/2x值为1/2.
也即：f(x)在x趋近于0时的极限为1/2。故A=1/2。
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