作业帮1/(x^2-1)^2这个函数的定积分,不要公式我有公式,=∫sec3pdp=(1/2)secptanp+(1/2)∫secpdp这是怎么来的，能说的明白点吗？我有点不解
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 19:21:26
1/(x^2-1)^2这个函数的定积分,不要公式我有公式,=∫sec3pdp=(1/2)secptanp+(1/2)∫secpdp这是怎么来的，能说的明白点吗？我有点不解
1/(x^2-1)^2这个函数的定积分,不要公式我有公式,
=∫sec3pdp
=(1/2)secptanp+(1/2)∫secpdp
这是怎么来的，能说的明白点吗？我有点不解
1/(x^2-1)^2这个函数的定积分,不要公式我有公式,=∫sec3pdp=(1/2)secptanp+(1/2)∫secpdp这是怎么来的，能说的明白点吗？我有点不解
这个不难:你是求不定积分吧!
∫dx/(x²-1)²
=∫dx/(1-x²)²
设x=sinp,dx=cospdp
=∫cospdp/(1-sin²p)²
=∫cospdp/cos^4p
=∫sec³pdp
=(1/2)secptanp+(1/2)∫secpdp
=(1/2)secptanp+(1/2)ln|secp+tanp|+C
=(1/2)[1/√(1-x²)][x/√(1-x²)]+(1/2)ln|(1+x)/√(1-x²)|+C
=x/2(1-x²)+(1/2)ln|(1+x)/√(1-x²)|+C
这里运用了分部积分法:∫ud(v)=uv-∫vd(u)
这是由导数的乘法公式(uv)'=vu'+uv'推导出来的
vu'=(uv)'-uv',两边取积分得∫vd(u)=uv-∫ud(v)
∫sec³xdx,记(tanx)'=sec²x,∴sec²xdx=d(tanx)
=∫secx·sec²xdx
=∫secxd(tanx)←分部积分法开始
=secxtanx-∫tanxd(secx),记(secx)'=secxtanx,∴secxtanxdx=d(secx)
=secxtanx-∫tanx·secxtanxdx←分部积分法完毕
=secxtanx-∫secxtan²xdx,用恒等式1+tan²x=sec²x
=secxtanx-∫secx(sec²x -1)dx
=secxtanx-∫(sec³x-secx)dx
=secxtanx-∫sec³xdx+∫secxdx,观察下发觉∫sec³xdx是循环形式的,再运算只是不断重复这步骤,于是将它移项到左边相加
∵∫sec³xdx=secxtanx-∫sec³xdx+∫secxdx
∴2∫sec³xdx=secxtanx+∫secxdx,两边除2得
∫secxdx=(1/2)secxtanx+(1/2)∫secxdx,记∫secxdx=ln|secx+tanx|+C
∴∫secxdx=(1/2)secxtanx+(1/2)ln|secx+tanx|+C
§[1/(x+1)^2(x-1)^2]dx=(1/8)§[1/(x^2+2x+1)-1/(x^2-2x+1)]d(x^2)=(1/8)ln(x^2+2x+1)-(1/8)ln(x^2-2x+1)