作业帮y=(2-cosx)/sinx求值域,x属于(0,派)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 21:22:50
y=(2-cosx)/sinx求值域,x属于(0,派)
y=(2-cosx)/sinx求值域,x属于(0,派)
y=(2-cosx)/sinx求值域,x属于(0,派)
x给了范围,代数法比较麻烦,可以考虑几何法
先考虑：t=(2-cosx)/(-sinx)=(2-cosx)/(0-sinx)
可以看成点A（0,2）和点B（sinx,cosx）连线的斜率k
B对应点在圆x²+y²=1上,
注意到x∈(0,π), ∴ sinx>0
∴ B对应的点是右半圆（不含边界）
如下图：
相切时,设斜率为k
直线为y=kx+2
则圆心O到直线的距离=半径1
∴ |2|/√(k²+1)=1
∴ 4=k²+1
∴ k²=3
∴ k=-√3 （由图容易知道,舍正）
∴ k的范围是k≤-√3
即t的范围是t≤-√3
∴ 函数y=(2-cosx)/sinx,x属于(0,派)的值域是[√3,+∞）
y=(2-cosx)/sinx表示单位圆x^2+y^2=1上的点（-sinx,cosx）与点（0，2）连线的斜率k
设过点（0，2）的与单位圆相切的切线方程为 y=kx+2
由圆心（0，0）到切线的距离等于半径可得I0-0-2I/√(1+k^2)=1
k=±√3
k的范围为,[-√3,√3]
x∈(0,π), sinx>0
k≤-√3
y=...
全部展开
y=(2-cosx)/sinx表示单位圆x^2+y^2=1上的点（-sinx,cosx）与点（0，2）连线的斜率k
设过点（0，2）的与单位圆相切的切线方程为 y=kx+2
由圆心（0，0）到切线的距离等于半径可得I0-0-2I/√(1+k^2)=1
k=±√3
k的范围为,[-√3,√3]
x∈(0,π), sinx>0
k≤-√3
y=(2-cosx)/sinx值域:,[-√3,+∞）
收起
设t=tan(x/2),x∈(0,π),则t>0，
由万能公式，cosx=(1-t^)/(1+t^),sinx=2t/(1+t^),
y=(1+3t^)/(2t)=(1/2)(1/t+3t)>=√3，
t=1/√3时取等号，
∴y的值域是[√3，+∞）。