如何证明：（1+1/2）（1+1/4）（1+3/8）（1+4/16）……（1+n/2^n)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 22:50:51

如何证明：（1+1/2）（1+1/4）（1+3/8）（1+4/16）……（1+n/2^n)
如何证明：（1+1/2）（1+1/4）（1+3/8）（1+4/16）……（1+n/2^n)

如何证明：（1+1/2）（1+1/4）（1+3/8）（1+4/16）……（1+n/2^n)
ln(1+x) < x 对一切 x> 0 成立.
于是：
ln(（1+1/2）（1+2/4）（1+3/8）（1+4/16）……（1+n/2^n))
= ln(1+ 1/2) + .+ln(1+n/2^n)
< 1/2+...+ n/2^n
设 A = 1/2+...+ n/2^n,
2A = 1 + 2/2 + ...+ n/2^(n-1)
两式相减得：
A = 1 +1／2 ＋ 1／4 ＋．．．＋ 1／2＾（n－1）－ n／2＾n
＝ 2 － 1／2＾（n－1）－ n／2＾n
＜ 2
所以：
ln(（1+1/2）（1+2/4）（1+3/8）（1+4/16）……（1+n/2^n)) ＜ 2
＝＝＝＞
（1+1/2）（1+2/4）（1+3/8）（1+4/16）……（1+n/2^n) ＜ e＾2 ＜ 9

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