作业帮已知函数f(x)=log2^x+1/x-1+log2^(x-1)+log2^(p-x),f(x)是否存在最值,若有,请求出来；如果不存在,请说明理由；PS：能够画图的尽量画图,刚才看了一个,但是实在不明白为什么要求区间中点以及为什么要
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 05:00:51
已知函数f(x)=log2^x+1/x-1+log2^(x-1)+log2^(p-x),f(x)是否存在最值,若有,请求出来；如果不存在,请说明理由；PS：能够画图的尽量画图,刚才看了一个,但是实在不明白为什么要求区间中点以及为什么要
已知函数f(x)=log2^x+1/x-1+log2^(x-1)+log2^(p-x),
f(x)是否存在最值,若有,请求出来；如果不存在,请说明理由；
PS：能够画图的尽量画图,刚才看了一个,但是实在不明白为什么要求区间中点以及为什么要以1来做分类讨论,..
已知函数f(x)=log2^x+1/x-1+log2^(x-1)+log2^(p-x),f(x)是否存在最值,若有,请求出来；如果不存在,请说明理由；PS：能够画图的尽量画图,刚才看了一个,但是实在不明白为什么要求区间中点以及为什么要
已知函数f（x）=log2[﹙x+1﹚/﹙x-1﹚]+log2（x-1）+log2（p-x）．
（1）求函数f（x）的定义域与值域．
分析：（1）先确定函数的定义域,再利用对数的运算性质,化简函数,分类讨论,确定内函数的值域,即可求得函数的值域．
（1）由题意,可得﹙x+1﹚/﹙x-1﹚＞0,x-1＞0,p-x＞0,∴x＞1且x＜p∵函数的定义域不能为空集,故p＞1,函数的定义域为（1,p）．
函数f（x）=log2[﹙x+1﹚/﹙x-1﹚]+log2（x-1）+log2（p-x）
=log2（x+1）（p-x）
=log2[-x²+（p-1）x+p]．
令t=-x²+（p-1）x+p=-[x-﹙p-1﹚/2]²+(p+1)²/4=g（x）
①当﹙p-1﹚/2＜1,p＞1,即1＜p＜3时,
t在（1,p）上单调减,g（p）＜t＜g（1）,即0＜t＜2p-2,
∴f（x）＜1+log2（p-1）,函数f（x）的值域为（-∞,log2（p-1））；
②当1≤﹙p-1﹚/2≤p,p＞1,即p≥3时,
g（p）＜t＜g（﹙p-1﹚/2）,即0＜t≤(p+1)²/4,
∴f（x）≤2log2（p+1）-2,函数f（x）的值域为（-∞,2log2（p+1）-2）．
综上：
当1＜p＜3时,函数f（x）的值域为（-∞,log2（p-1））；
当p≥3时,函数f（x）的值域为（-∞,2log2（p+1）-2）．
点评：本题考查导数函数,考查函数的值域,考查分类讨论的数学思想,解题的关键是确定函数的定义域,化简函数．