已知不等式x^2+px+1>2x+p.(1)若不等式当│p│≤2时恒成立,求x的范围?（2）若不等式当2≤x≤4时恒成立,求p的范围?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/12 08:32:19

已知不等式x^2+px+1>2x+p.(1)若不等式当│p│≤2时恒成立,求x的范围?（2）若不等式当2≤x≤4时恒成立,求p的范围?
已知不等式x^2+px+1>2x+p.
(1)若不等式当│p│≤2时恒成立,求x的范围?
（2）若不等式当2≤x≤4时恒成立,求p的范围?

已知不等式x^2+px+1>2x+p.(1)若不等式当│p│≤2时恒成立,求x的范围?（2）若不等式当2≤x≤4时恒成立,求p的范围?
(1)
x^2+px+1>2x+p可整理出(1-x)^2>p(1-x)
下面分情况讨论
当x=1时不等式为p>p,显然不成立
当x<1时,1-x>0,此时不等式两边同时除以1-x可化为1-x>p
因为|p|≤2,所以可知-2≤p≤2
所以可知1-x应该大于p的最大值才能恒成立,
所以可知1-x>2==>x<-1
结合前提可知此时应该有x<-1
当x>1时,1-x<0,此时不等式两边同时除以1-x可化为1-x所以可知1-x应小于p的最小值才能恒成立
所以可知1-x<-2==>x>3
结合前提可知此时应该有x>3
所以综上可知x∈(-∞,-1)∪(3,+∞)
(2)
当2≤x≤4时由(x-1)^2>p(1-x)可两边同时除以1-x可得
1-x>p
此时要想使不等式恒成立,必有p小于1-x的最小值,
而当2≤x≤4时可知1-x的最小值为-3
所以有p<-3

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