作业帮.(14分)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线x+y-i=0 相交于P Q两点,且OP垂直于OQ（O为原点）.(1)求证1/a^2+1/b^2 等于定值；(2)当椭圆离心率e属于[根号3/3(三分之根号三),根号2/2(二分之根号二)(根号只管分子)]时,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 18:36:02
![.(14分)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线x+y-i=0 相交于P Q两点,且OP垂直于OQ（O为原点）.(1)求证1/a^2+1/b^2 等于定值；(2)当椭圆离心率e属于[根号3/3(三分之根号三),根号2/2(二分之根号二)(根号只管分子)]时,](/uploads/image/z/7637690-2-0.jpg?t=.%2814%E5%88%86%29%E6%A4%AD%E5%9C%86x%5E2%2Fa%5E2%2By%5E2%2Fb%5E2%3D1%E4%B8%8E%E7%9B%B4%E7%BA%BFx%2By-i%3D0+%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8EP+Q%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E4%B8%94OP%E5%9E%82%E7%9B%B4%E4%BA%8EOQ%EF%BC%88O%E4%B8%BA%E5%8E%9F%E7%82%B9%EF%BC%89.%281%29%E6%B1%82%E8%AF%811%2Fa%5E2%2B1%2Fb%5E2+%E7%AD%89%E4%BA%8E%E5%AE%9A%E5%80%BC%EF%BC%9B%282%29%E5%BD%93%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%A6%BB%E5%BF%83%E7%8E%87e%E5%B1%9E%E4%BA%8E%5B%E6%A0%B9%E5%8F%B73%2F3%28%E4%B8%89%E5%88%86%E4%B9%8B%E6%A0%B9%E5%8F%B7%E4%B8%89%29%2C%E6%A0%B9%E5%8F%B72%2F2%28%E4%BA%8C%E5%88%86%E4%B9%8B%E6%A0%B9%E5%8F%B7%E4%BA%8C%29%28%E6%A0%B9%E5%8F%B7%E5%8F%AA%E7%AE%A1%E5%88%86%E5%AD%90%29%5D%E6%97%B6%2C)
.(14分)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线x+y-i=0 相交于P Q两点,且OP垂直于OQ（O为原点）.(1)求证1/a^2+1/b^2 等于定值；(2)当椭圆离心率e属于[根号3/3(三分之根号三),根号2/2(二分之根号二)(根号只管分子)]时,
.(14分)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线x+y-i=0 相交于P Q两点,且OP垂直于OQ（O为原点）.(1)求证1/a^2+1/b^2 等于定值；
(2)当椭圆离心率e属于[根号3/3(三分之根号三),根号2/2(二分之根号二)(根号只管分子)]时,求椭圆长轴长的取值范围.
.(14分)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线x+y-i=0 相交于P Q两点,且OP垂直于OQ（O为原点）.(1)求证1/a^2+1/b^2 等于定值；(2)当椭圆离心率e属于[根号3/3(三分之根号三),根号2/2(二分之根号二)(根号只管分子)]时,
（1）、x+y-i=0
y=-x+i
代入椭圆方程,x^2/a^2+(x-i)^2/b^2=1
整理得：x^2(1/a^2+1/b^2)-(2i/b^2)x+i^2/b^2-1=0
因为 b≠0
所以 x^2(1+b^2/a^2)-2ix+i^2-b^2=0
OP垂直于OQ
所以 K(op)*K(oq)=-1
所以 XpXq+YpYq=0
XpXq+(-Xp+i)(-Xq+i)=0
2XpXq-i(Xp+Xq)+i^2=0
因为 XpXq=(i^2-b^2)/(1+b^2/a^2),Xp+Xq=2i/(1+b^2/a^2)
所以 2(i^2-b^2)/(1+b^2/a^2)-i*2i/(1+b^2/a^2)+i^2=0
2(i^2-b^2)-2i^2+i^2(1+b^2/a^2)=0
-2b^2+i^2+b^2i^2/a^2=0
i^2(a^2+b^2)=2a^2b^2
1/a^2+1/b^2=2/i^2
（2）、e=c/a∈[√3/3,√2/2]
c^2/a^2∈[1/3,1/2]
(a^2-b^2)/a^2∈[1/3,1/2]
1-b^2/a^2∈[1/3,1/2]
b^2/a^2∈[1/2,2/3]
因为 b^2=a^2i^2/(2a^2-i^2)
所以 i^2/(2a^2-i^2)∈[1/2,2/3]
所以 a^2∈[(5/4)i^2,(6/4)i^2]
2a∈[√5|i|,√6|i|]
(1)设OP：y=kx,则OQ:y=-x/k.代入直线方程，得到P(i/(1+k),ki/(1+k)),Q(ki/(k-1),i/(1-k)).再将它们代入椭圆方程，得到两个等式：
1/a^2+k^2/b^2=(1+k)^2/i^2；k^2/a^2+1/b^2＝(1-k)^2/i^2.
再将这两个等式左右两边分别相加，得到1/a^2+1/b^2=2/i^2
(2)e=根号3...
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(1)设OP：y=kx,则OQ:y=-x/k.代入直线方程，得到P(i/(1+k),ki/(1+k)),Q(ki/(k-1),i/(1-k)).再将它们代入椭圆方程，得到两个等式：
1/a^2+k^2/b^2=(1+k)^2/i^2；k^2/a^2+1/b^2＝(1-k)^2/i^2.
再将这两个等式左右两边分别相加，得到1/a^2+1/b^2=2/i^2
(2)e=根号3/3(三分之根号三)时，b^2=2a^2/3,代入1/a^2+1/b^2=2/i^2得到，a^2=5i^2/4=>a=二分之根号5×|i|;
e=根号2/2(二分之根号二)时，同样可得a=二分之根号6×|i|;
所以，长轴的取值范围是[二分之根号5×2|i|,二分之根号6×2|i|]
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