已知向量a与a+b的夹角为60°,且a模=8,b模=7,求cos

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/15 05:40:15

已知向量a与a+b的夹角为60°,且a模=8,b模=7,求cos
已知向量a与a+b的夹角为60°,且a模=8,b模=7,求cos

已知向量a与a+b的夹角为60°,且a模=8,b模=7,求cos
（说明：这里的a、b、a＋b表示向量,|a|、|b|、|a＋b|的模.用向量的平行四边形法则自己画图）
∵|b|、|a＋b|且|a|、|a＋b|的夹角为60°
∴由余弦定理得|b|²＝|a|²＋|a＋b|²－2|a|•|a＋b|cos60°
∵ |a|＝8 ,|b|＝7
∴|a＋b|²－8|a＋b|＋15＝0
∴ |a＋b|＝5或|a＋b|＝3
∵|a＋b|²＝5² 或 a＋b|²＝3²
∴|a|²＋2a·b＋|b|²＝25 或 |a|²＋2a·b＋|b|²＝9
∴ a•b＝﹣44或 a•b＝﹣52
∵ a•b＝|a| |b| cos﹤a,b﹥ (向量的数量积公式)
∴ cos﹤a,b﹥＝﹣44／56＝﹣11／14 或 cos﹤a,b﹥＝ ﹣52／56＝﹣13／14
故cos﹤a,b﹥＝﹣11／14 或cos﹤a,b﹥＝﹣13／14

实际上就是三角形三边长a=8,b=7,c不知道，但知道角B=60°
1/2=cosB=（a²+c²-b²）/(2ac)=(15+c²)/(16c)
15+c²=8c (c-3)(c-5)=0
c=3或c=5
c=3 则cos=cosC=（a²+b²-c²）/(2ab...

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实际上就是三角形三边长a=8,b=7,c不知道，但知道角B=60°
1/2=cosB=（a²+c²-b²）/(2ac)=(15+c²)/(16c)
15+c²=8c (c-3)(c-5)=0
c=3或c=5
c=3 则cos=cosC=（a²+b²-c²）/(2ab)=(64+49-9)/112=102/112=51/56
c=5 则cos=cosC=（a²+b²-c²）/(2ab)=(64+49-25)/112=88/112=11/14

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由已知，cos=a*(a+b)/(|a|*|a+b|)=1/2 ，
所以 a*(a+b)=|a|*|a+b|/2=4|a+b| ，（*）
设 x=cos ，则 a*(a+b)=a^2+a*b=64+56x ，
|a+b|^2=a^2+b^2+2a*b=64+49+2*8*7x=113+112x ，
因此，由（*）得 64+56x=4√(113+112x) ，
化简得 196x^2+336x+143=0 ，
解得 cos=x=(-336±√784)/392 ，
计算得 cos=(-336-28)/392= -13/14 ，
或 cos=(-336+28)/392= -11/14 。

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