在三角形ABC中,角A:角B=1:3,CD为角平分线,三角形BCD与三角形ACD的面积之比为2:5,求角A的正弦值.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 17:29:09
在三角形ABC中,角A:角B=1:3,CD为角平分线,三角形BCD与三角形ACD的面积之比为2:5,求角A的正弦值.

在三角形ABC中,角A:角B=1:3,CD为角平分线,三角形BCD与三角形ACD的面积之比为2:5,求角A的正弦值.
在三角形ABC中,角A:角B=1:3,CD为角平分线,三角形BCD与三角形ACD的面积之比为2:5,求角A的正弦值.

在三角形ABC中,角A:角B=1:3,CD为角平分线,三角形BCD与三角形ACD的面积之比为2:5,求角A的正弦值.
三角形BCD与三角形ACD,同高,因此有BD/AD=三角形BCD面积与三角形ACD面积=2：5
三角形BCD中：BD/sin∠BCD=BC/sin∠BDC
三角形ACD中：AD/sin∠ACD=AC/sin∠ADC
两式相除：BD/AD=BC/AC（角平分线定理）
BC/AC=BD/AD=2:5
BC/AC=sinA/sinB=sinA/sin3A
sin3A=sin（A+2A）=sinAcos2A+cosAsin2A=sinA（1-2sin²A）+cosA*2sinAcosA=sinA（1-2sin²A+2cos²A）=sinA（3-4sin²A）
BC/AC=sinA/sinB=sinA/sin3A=sinA/[sinA（3-4sin²A）]=2:5
1/（3-4sin²A)=2:5
3-4sin²A=5/2
sin²A=1/8
sinA=(√2)/4

【注：三倍角公式：sin3x=3sinx-4sin³x.】易知，BD:AD=2:5.又由三角形的角平线性质知，BC:AC=BD:AD=2:5.令∠A=x,则∠B=3x.在⊿ABC中，由正弦定理知，sinA:sinB=BC:AC=2:5.===>2sinB=5sinA.即2sin3x=5sinx.===>2(3sinx-4sin³x)=5sinx.因sinx≠0.∴6-8sin&...

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【注：三倍角公式：sin3x=3sinx-4sin³x.】易知，BD:AD=2:5.又由三角形的角平线性质知，BC:AC=BD:AD=2:5.令∠A=x,则∠B=3x.在⊿ABC中，由正弦定理知，sinA:sinB=BC:AC=2:5.===>2sinB=5sinA.即2sin3x=5sinx.===>2(3sinx-4sin³x)=5sinx.因sinx≠0.∴6-8sin²x=5.===>sin²x=1/8.===>sinx=√2/4.即sinA=√2/4.

收起

在三角形ABC中,abc分别为内角ABC的对边,且1/(a+b)+1/(a+c)=3/(a+b+c),求角A大小, 在三角形ABC中,已知cos2A－3cos(B+C)=1 ,求角A. 在三角形ABC中,若角A：角B：角C=1:2:3则a:b:c= 在三角形ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c若A:B:C=1:2:3则a:b:c等于? 在三角形abc中,角A减角B=角C,则此三角形是什么三角形 在三角形ABC中,角C=60度,则a/b+c + b/a+c 三角形abc中,Sin三角形abc=根号3/4(a^+b^-c^),求c角 在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c已知A=π/3,b=1,三角形ABC的外接圆半径为1,则三角形ABC的面积为 在三角形ABC中,若角A=角B=3角C,请判断三角形ABC的形状 在三角形ABC中,已知（b+a+c）（b-a-c）=-3ac,且b²=ac,求角B并判断三角形ABC 在三角形ABC中,角A=60度,b=1,S三角形ABC=根号3,则（a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=多少 在三角形ABC中,角A=60度,b=1,三角形ABC的面积=根号3,则 a+b+c/sinA+sinB+sinC=? 在三角形ABC中,角C=90度,若a=b=1,求S三角形ABC 在三角形ABC中,a:b:c=2:√6：（√3+1）,求三角形ABC的各角的大小,求三角形各角大小 在三角形ABC中,角A,B,C所队的边分别是a,b.c,已知a=1,A=60度,c=3分之根3,则三角形A则三角形ABC的面积为 在三角形ABC中,c=5,b=3a=7,求角a 在三角形ABC中,角A、B、C的对边a、b、c,A=60°,a=√3,b=1,则c? 在三角形ABC中,A:B:C=1:2:3则a:b:c等于