已知F是抛物线C:y^2=4x的焦点,A,B是C上的两个点,线段AB的中点为M（2,2）,则△ABF的面积是?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/18 03:41:46

已知F是抛物线C:y^2=4x的焦点,A,B是C上的两个点,线段AB的中点为M（2,2）,则△ABF的面积是?
已知F是抛物线C:y^2=4x的焦点,A,B是C上的两个点,线段AB的中点为M（2,2）,则△ABF的面积是?

已知F是抛物线C:y^2=4x的焦点,A,B是C上的两个点,线段AB的中点为M（2,2）,则△ABF的面积是?
设,直线AB的方程为:Y-2=K(X-2),
即,Y=K(X-2)+2.
因为Y^2=4X,4=2P,P=2,
则焦点F的坐标为(1,0).
令,点A坐标为(X1,Y1),点B坐标为(X2,Y2).则有
[K(X-2)+2]^2=4X,化简后得,
K^2*X^2-4(K^2-K+1)X+4(K^2-2K+1)=0,
X1+X2=4(K^2-K+1)/K^2,
X1*X2=4(K^2-2K+1)/K^2,
因为,线段AB的中点为M（2,2）,
2=(X1+X2)/2,X1+X2=4,则有
4(K^2-K+1)/K^2=4,解得,
K=1.
X1*X2=4(K^2-2K+1)/K^2=0,
又因为:(X2-X1)^2=(X1+X2)^2-4X1*X2=4^2.
而,K=(Y2-Y1)/(X2-X1),则有
(Y2-Y1)^2=K^2*(X2-X1)^2=4^2.
|AB|=√[(X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2]=4√2.
直线AB的方程为Y=K(X-2)+2,K=1,
即,X-Y=0.
令,焦点F(1,0),到直线AB的距离为d,
d=|1+0|/√2=√2/2.
△ABF的面积是=1/2*|AB|*d=1/2*4√2*√2/2
=2.

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