1^3+2^3+...+n^3=?怎么推导?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 09:48:35

1^3+2^3+...+n^3=?怎么推导?
1^3+2^3+...+n^3=?怎么推导?

1^3+2^3+...+n^3=?怎么推导?
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

请问a+a^2+a^3+...+a^n=a*(a^n-1)/(a-1)是怎么推出来的一个数学公式的由来1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6是怎么推出来的, 1方+2方+3方+……+N方=1/6n（2n+1)(n+1)怎么推的? 喜欢数学的朋友,阿基米德穷竭法求Y=X^2中（1|n)^3*n(n-1)(2n-1)|6以后怎么推 1方+2方+3方+···+n方从正面推导怎么推匀变速直线运动公式推导S1:S2:S3:.:Sn=1:3:5:...:(2n-1)怎么推出来的等差数列的前n项和构成的数列怎么求和怎推导的1^2+2^2+3^2+…+n^2=[n(n+1)(2n+1)]/6是怎么推出来的数列递推公式求通项A(n+1)=(n+1)An+1 怎么求通项,A1=1 或者告诉我这个怎么求和(n+1)*n*(n-1)``````````````1+(n+1)*n*`````````````````2+(n+1)*n*``````````````3+````````````````````(n+1)*n+(n+1) P(n)推导已知p(1)=1;p(n)=(1-1/(n^2))p(n-1)+2/n-1/(n^2);请由递推公式推导出p(n)的表达式提示：p(n)=2*(n+1)/n*(1/2+1/3+.+1/(n+1))-1;p(n)递推公式p(n)=(1-1/(n^2))p(n-1)+(2/n)-1/(n^2); 数列{N~2}求和公式?就是1的平方+2的平方+3的平方+…+N的平方=N（N+1）（2N+1）/6?怎么推出来的? 已知递推公式求通项 a(1)=1 a(n)=3*a(n-1)+2^n (n>=2) 求a(n) 直线交点公式怎么推出来的n*(n-1)/2怎么推出来的~ 2^(2n)-3n-1,使用数学归纳法证明它能被9整除,n=1,2,...我推到n=k+1：4(4^k-1)-3k但是推不下去了怎样推导出1+3^1+3^2+3^3+…+3^（n-1)=（3^n-1)/2 数列：1,1+2,1+2+3,.,1+2+3+.+n如何推导出Sn=n(n+1)(n+2)/6 已知递推公式求通项a(n+1)=2a(n)+3n,a(1)=2,求a(n)a(n+1)=2a(n)+3^n,a(1)=2,求a(n) 证明一个求和公式请详细点哦1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 证明它怎么从左边推到右边 1+4+9+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6是怎么推出来的