已知抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为2,则|AB|的最大值为
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/15 11:22:20
已知抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为2,则|AB|的最大值为
已知抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为2,则|AB|的最大值为
已知抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为2,则|AB|的最大值为
直线AB x=my+b
A(x1,y1) B(x2,y2) x1+x2=4
y^2=4x
y^2-4my-4b=0 y1+y2=4m y1y2=-4b
x1=my1+b
x2=my2+b x1+x2=m(y1+y2)+2b=4 2m^2+b=2 b=2-2m^2
|AB|=√(1+1/m^2)*√[(y1+y2)^2-4y1y2]
=√(1+m^2)*√[16m^2+16b]
=√(1+m^2)*√[16m^2+16b]
=4√(-m^4+m^2+2)
=4√[-(m^2-1/2)+9/4)
当m^2=1/2时,即m=±√2/2时 |AB|的最大
|AB|的最大值为 6
抛物线y2=4x的弦AB的中点到准线x=-1的距离=2+1=3,设抛物线y2=4x焦点为F,点A、B到准线x=-1的距离分别为d1、d2,则d1+d2=2×3=6,由抛物线定义,得|AF|=d1,|BF|=d2,所以:
|AF|+|BF|=6,在△ABF中,|AB|<|AF|+|BF|=6,当A、B、F三点共线时,|AB|=|AF|+|BF|=6
综上,知:|AB|≤|AF|+|B...
全部展开
抛物线y2=4x的弦AB的中点到准线x=-1的距离=2+1=3,设抛物线y2=4x焦点为F,点A、B到准线x=-1的距离分别为d1、d2,则d1+d2=2×3=6,由抛物线定义,得|AF|=d1,|BF|=d2,所以:
|AF|+|BF|=6,在△ABF中,|AB|<|AF|+|BF|=6,当A、B、F三点共线时,|AB|=|AF|+|BF|=6
综上,知:|AB|≤|AF|+|BF|=6,即|AB|的最大值为6。
收起
已知抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为2,则|AB|的最大值为多少?
当AB和x轴垂直时,将x=2代入y²=4x,解得y=±2√2
所以此时AB=4√2
当AB不和X轴垂直时,设直线AB为y=kx+b代入y²=4x
化简:k²x²+(2kb-4)x+b²=0
韦达定理:x1+x2=(4-2kb)/k&s...
全部展开
已知抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为2,则|AB|的最大值为多少?
当AB和x轴垂直时,将x=2代入y²=4x,解得y=±2√2
所以此时AB=4√2
当AB不和X轴垂直时,设直线AB为y=kx+b代入y²=4x
化简:k²x²+(2kb-4)x+b²=0
韦达定理:x1+x2=(4-2kb)/k²,x1*x2=b²/k²
根据题意x1+x2=4,所以(4-2kb)/k²=4即b=(2-2k²)/k
由弦长公式:AB=√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]
AB=4√[2+(k²-1)/k^4]
当k²>1即k>1或k<-1时,AB无最大值
k²<1即-1
收起
假设两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2);根据抛物线的形状,y1与y2异号,假设y1<0
y1^2=4x1,y2^2=4x2,(x1+x2)/2=2
|AB|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2 将上面3式代入,|AB|^2=-4(4x1-x1^2)+8√(4x1-x1^2)+32
设a=√(4x1-x1^2) 当a=1时,|AB|最大,为6,此时x1=2-√3