高二数学已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴,短轴端点和焦点组成的四边形为正方形,且2a2/c=4求椭圆方程已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴,短轴端点和焦点组成的四边形为正方形,且2a2/c=4（1）

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 07:05:21

高二数学已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴,短轴端点和焦点组成的四边形为正方形,且2a2/c=4求椭圆方程已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴,短轴端点和焦点组成的四边形为正方形,且2a2/c=4（1）
高二数学已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴,短轴端点和焦点组成的四边形为正方形,且2a2/c=4求椭圆方程
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴,短轴端点和焦点组成的四边形为正方形,且2a2/c=4
（1）求椭圆方程
（2）直线l过P（0,2）,且与椭圆相交于A、B两点,当△AOB面积取得最大值时,求直线l的方程

高二数学已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴,短轴端点和焦点组成的四边形为正方形,且2a2/c=4求椭圆方程已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴,短轴端点和焦点组成的四边形为正方形,且2a2/c=4（1）
分析：
（Ⅰ）先设出椭圆标准方程,根据题意可知b=c,根据准线方程求得c和a的关系,进而求得a,b和c,则椭圆方程可得．
（Ⅱ）设出直线l的方程和A,B的坐标,进而把直线方程与椭圆方程联立,消去y,根据判别式大于0求得k的范围,根据韦达定理求得x1+x2,x1x2的表达式,表示出|AB|,求得原点到直线的距离,进而表示出三角形的面积,两边平方根据一元二次方程,建立关于S的不等式,求得S的最大值,进而求得k,则直线方程可得．
设椭圆方程为x²/a² +y²/b² =1(a＞b＞c)
（Ⅰ）由已知得
b=c
2a²/c=4
a²=b²+c²
⇒ a²=2 b²=1 c²=1
∴所求椭圆方程为x²/2+y²=1．
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+2,A（x1,y1）,B（x2,y2）
由 y=kx+2
x²/2 +y²=1,
消去y得关于x的方程：
（1+2k²）x²+8kx+6=0
由直线l与椭圆相交于A、B两点,
∴△＞0⇒64k²-24（1+2k²）＞0
解得k²＞3/2
又由韦达定理得
x1+x2=-8k/﹙1+2k²﹚
x1•x2=6/﹙1+2k²﹚
∴|AB|= √﹙1+k²﹚ |x1-x2|= √﹙1+k²﹚√[(x1+x2)²-4x1x2]=√﹙1+k²﹚/﹙1+2k²﹚/√﹙16k²-24﹚
原点O到直线l的距离d=2/√﹙1+k²﹚
∵S△AOB=1/2|AB|•d= √﹙16k²-24﹚/﹙1+2k² ﹚=2√2√﹙2k²-3﹚/﹙1+2k²﹚ ．
对S=√﹙16k²-24﹚/﹙1+2k²﹚
两边平方整理得：4S²k⁴+4（S²-4）k²+S²+24=0（*）
∵S≠0,
16(S²-4)²-4×4S²(S²+24)≥0
﹙4-S²﹚/S² ＞0
﹙S²+24﹚/4S² ＞0
整理得：S²≤1/2
又S＞0,∴0＜S≤√2/2
从而S△AOB的最大值为S=√2/2 ,
此时代入方程（*）得4k⁴-28k²+49=0∴k=±√14/2
所以,所求直线方程为：±√14 x-2y+4=0．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．考查了学生分析问题和基本运算的能力．

(1)x^2/2+y^2=1