作业帮请问微分方程中那个齐次方程是什么意思 它的那个公式是怎么算出来的 书上的公式我没看懂请高人详细指教我说的是一阶微分方程 就是它怎么和U（x）那个函数联系上的？
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 07:24:26
请问微分方程中那个齐次方程是什么意思 它的那个公式是怎么算出来的 书上的公式我没看懂请高人详细指教我说的是一阶微分方程 就是它怎么和U（x）那个函数联系上的？
请问微分方程中那个齐次方程是什么意思 它的那个公式是怎么算出来的 书上的公式我没看懂
请高人详细指教
我说的是一阶微分方程 就是它怎么和U（x）那个函数联系上的？
请问微分方程中那个齐次方程是什么意思 它的那个公式是怎么算出来的 书上的公式我没看懂请高人详细指教我说的是一阶微分方程 就是它怎么和U（x）那个函数联系上的？
齐次方程就是它的常数项为0
我们设y = e^zx,可得：
z^n*e ^zx + A1*z^(n-1)*e ^zx + …… + An*e ^zx=0
两边除以e `zx,便得到了一个n次方程：
F(z)=z^n+ A1*z^(n-1)+ …… + An =0
这个方程F(z) = 0称为特征方程.
一般地,把微分方程中以下的项 d^k y/d x^k
换成zk,便可得到特征方程.这个方程有n个z1, ..., zn.把任何一个解代入e^zx,便可以得到微分方程的一个e^zix.由于齐次线性微分方程满足叠加原理,因此这些函数的任意线性组合仍然满足微分方程.
如果特征方程的根都不重复,我们便得到了微分方程的n个解.可以证明,这些解是线性独立的.于是,微分方程的通解就是y = C1e` z1x + C2e` z2x + …… + Cne` znx,其中C1、C2、……、Cn是常数.
以上讨论了n个根全不相同的情形.如果这n个根中有两个（或多个）相同,用上面的方法就无法得出n个线性独立的解.但是,可以验证,如果z是特征方程的n重根,那么,对于,就是微分方程的一个解.于是,原微分方程的通解就是y = C1 e ^zx + C2 x e^ zx + C3 x2 e^ zx + …… + Cn x(n-1)e^ zx.
一般地,如果微分方程的系数Ai都是实数,那么它的解也应该表示成实数的形式.假如特征方程有复数根,那么它一定是成对的,也就是说,如果a + bi是特征方程的根,那么a - bi也是一个根.于是,y = e^ (a + bi)x和y = e ^(a - bi)x都是微分方程的解.但这两个解都是复数的形式.考虑到这两个解的任意线性组合也仍然是微分方程的解,我们可以把这两个解相加,再除以2,利用欧拉公式,便得到一个实数形式的y = e^ axcosbx.如果把两个解相减,再除以2i,便得到另一个实数形式的y = e^ axsinbx.于是,y = C1e ^axcosbx + C2e^ axsinbx就是微分方程的通解.