用数学归纳法证明 6+29+312+…+n(3n+3)=n(n+1)(n+2)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 18:52:05

用数学归纳法证明 6+2*9+3*12+…+n(3n+3)=n(n+1)(n+2)
用数学归纳法证明 6+2*9+3*12+…+n(3n+3)=n(n+1)(n+2)

用数学归纳法证明 6+2*9+3*12+…+n(3n+3)=n(n+1)(n+2)
1、当n=1时,左边 1*（3*1+3）=6=1*(1+1)(1+2)=右边
2、假设当n=k时,等式成立.
所以当n=k+1时,左边=6+2*9+3*12+…+k(3k+3)+(k+1)[3(k+1)+3]
=6+2*9+3*12+…+k(3k+3)+(k+1)(3k+6)
=k(k+1)(k+2)+(k+1)(3k+6)
=(k+1)(k^2+5k+6)
=(k+1)(k+2)(k+3)
右边=(k+1)(k+2)(k+3)
所以当n=k+1时,等式也成立
所以得证

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当n=1时，1(1+1)(1+3)=2×3=6，显然成立。
当n≥2时，
假设n=k 时，等式成立，
那么，当n=k+1时，
6+2×9+3×12+…+k×(3k+3)+(k+1)×[3(k+1)+3]
=k×(k+1)×(k+2) + (k+1)×[3(k+1)+3]
=(k+1)×[k×(k+2) + 3(k+1)+3]
=(k+1)×( k² + 2k + 3k +3 + 3)
=(k+1)×( k² + 5k + 6)
=(k+1)×（k+2）×(k+3)
=(k+1)×[(k+1)+1]×[(k+1)+2]
所以，当n=k+1时，等式成立。
所以对于任意的 n ∈ 正整数Z+,等式都成立。
得证。

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（1）、当n=1 左边=1×6=6 右边=1×2×3=6 左边等于右边
故当n=1时等式成立
（2）、设当n=k时等式成立，即6+2×9+3×12+…+k(3k+3)=k(k+1)(k+2)
那么当n=k+1时
6+2×9+3×12+…+k(3k+3)+（k+1)(3k+6)=k(k+1)(k+2)+（k+1)(3k+6)
=k(k+1)(k+2)+3（k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)
故当n=k+1时等式也成立。
（3）、综上所述，对于一切n属于N* 等式均成立

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1).当n=1时,
左边=6,右边=6
左边=右边
2)假设当n=k时,有 6+2*9+3*12+…+k(3k+3)=k(k+1)(k+2)
则当n=k+1时,有:
左边=6+2*9+3*12+…+k(3k+3)+(k+1)[3(K+1)+3]
=k(k+1)(k+2)+(k+1)[3(K+1)+3]
=k(k+1)(k+2)+3(k+1)...

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数学归纳法的一般思路
1 设原式成立
2 设k=n，把k带入原式，则式子6+2*9+3*12+…+k(3k+3)=k(k+1)(k+2)
成立
3 设k+1=n带入原式
6+2*9+3*12+…+(k+1)(3(k+1)+3)=(k+1)(k+1+1)(k+2+1)
将等式右边展开，得6+2*9+3*12+…+(k+1)(3(k+1)+3)=(k+1)(3(k+1)+3)+k(k+1)(k+2)
左右消掉得6+2*9+3*12+…+k(3k+3)=k(k+1)(k+2)，等式成立
4 说明原式成立

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