作业帮一道关于数列有界性的题目记数列an前n项的积为πn = a1a2 … an,设Tn =π1π2 …πn.若数列an=2007（1/2）^(n-1),n为正整数,则使Tn最大的n的值为
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 11:38:15
一道关于数列有界性的题目记数列an前n项的积为πn = a1a2 … an,设Tn =π1π2 …πn.若数列an=2007（1/2）^(n-1),n为正整数,则使Tn最大的n的值为
一道关于数列有界性的题目
记数列an前n项的积为πn = a1a2 … an,设Tn =π1π2 …πn.若数列an=2007（1/2）^(n-1),n为正整数,则使Tn最大的n的值为
一道关于数列有界性的题目记数列an前n项的积为πn = a1a2 … an,设Tn =π1π2 …πn.若数列an=2007（1/2）^(n-1),n为正整数,则使Tn最大的n的值为
首先先算pi(n)=a1a2...an=(2007^n)*(1/2)^(0+1+2+...+(n-1))=(2007^n)*(1/2)^(n(n-1)/2)
再算Tn=pi(1)pi(2)...pi(n)=(2007^x)*((1/2)^y)
其中,x=1+2+3+...+n=n(n+1)/2 y=sigma(n(n-1)/2)=1/2*(1+2^2+3^2+...+n^2)-1/2*(1+2+3+...+n)=1/12*n(n+1)(2n+1)-1/4*n(n+1)=1/6*n(n+1)(n-1) (sigma表示从1到n求和)
为计算简便,算 ln(Tn)=x*ln(2007)+y*ln(1/2)=n(n+1)/2*ln(2007)+1/6*n(n+1)(n-1)*ln(1/2)
然后对ln(Tn)求导得到(ln(Tn))'=1/2*ln(2007)*(2n+1)+1/6*ln(1/2)*(3n^2-1)
算(ln(Tn))'=0,即ln(1/2)/2*n^2+ln(2007)*n+ln(2007)/2-1/6*ln(1/2)=0
由求根公式可得n的正数解为22.445左右,最接近的为n=22
注：最后一步也可用在初等数学范畴内的平均值不等式来做,但系数配起来太麻烦,功效和用求导是一样的；最后的二次方程求根公式的计算应当用计算器,否则靠手算绝对算不出来（除非去展开,但没必要）,即使使用平均值不等式,最后还是要牵涉到对数的运算,计算器的运算无论如何绕不开.
计算、验证加打字用了30分钟.好辛苦啊.