求解微分方程初值的问题

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/15 01:17:17

求解微分方程初值的问题
求解微分方程初值的问题

求解微分方程初值的问题
1.求微分方程xy'-3y+x⁴=0满足初始条件y(1)=2的特解.
先求齐次方程xy'-3y=0的通
分离变量得dy/y=(3/x)dx；
积分之得lny=3lnx+lnC'=ln(C'x³)；
故得y=C'x³；把C'换成为x的函数u,得y=ux³.(1)
将(1)对x取导数得dy/dx=3x²u+x³(du/dx).(2)
将(1)和(2)代入原方程得x[3x²u+x³(du/dx)]-3ux³+x⁴=0
化简得x⁴(du/dx)+x⁴=x⁴(du/dx+1)=0
因为x≠0,故必有du/dx+1=0,即有du=-dx,故u=-x+C
代入(1)式即得原方程的通解为y=(-x+C)x³=-x⁴+Cx³
将初始条件y(1)=2代入得2=-1+C,故得C=3；
于是得原方程的特解为y=-x⁴+3x³.
(未完,待续,请别中断答题程序)

xy'-3y+x^4=0可以用一阶方程的公式直接求，下面用另外的方法：
xdy-3ydx+x^4dx=0
(xdy-3ydx)/x^4+dx=0
d(y/x^3)+d(x)=0
通y/x^3+x=C
y(1)=2代入：C=3
y=-x^3+3x^3

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