A为复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关A为n阶复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/12 16:55:28

A为复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关A为n阶复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关
A为复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关
A为n阶复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关

A为复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关A为n阶复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n-1a线性无关
设A的n个特征值为λ[1],λ[2],...,λ[n].
v[1],v[2],...,v[n]为相应的特征向量,即有Av[i] = λ[i]v[i].
取a = v[1]+v[2]+...+v[n],以下证明a,Aa,...A^(n-1)a线性无关.
由v[1],v[2],...,v[n]是属于不同特征值的特征向量,它们线性无关.
于是对依次以v[1],v[2],...,v[n]为列向量的矩阵B,有B可逆.
注意到A^k·a = λ[1]^k·v[1]+λ[2]^k·v[2]+...+λ[n]^k·v[n].
设n阶矩阵C = (λ[i]^j),则矩阵BC的列向量依次为a,Aa,...,A^(n-1)a.
要证明a,Aa,...A^(n-1)a线性无关,只需证明BC可逆.
已证B可逆,又C的行列式为Vandermonde行列式,由λ[i]两两不等知|C| ≠ 0,C可逆.
因此BC可逆,a,Aa,...A^(n-1)a线性无关.

该题有点意思，看到没人做，试做了一些，看可否。

再给你个快捷一点的证法：A相似于其特征多项式的友阵(Frobenius阵)