圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆,点D是劣弧BC的中点,连结AD并延长,与过C点的切线交于点P,OD与BC相交于点E,当AC=6,AB=10时,求切线PC的长
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/15 11:36:06
圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆,点D是劣弧BC的中点,连结AD并延长,与过C点的切线交于点P,OD与BC相交于点E,当AC=6,AB=10时,求切线PC的长
圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆,点D是劣弧BC的中点,连结AD并延长,与过C点的切线交于点P,OD与BC相交于点E,当AC=6,AB=10时,求切线PC的长
圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆,点D是劣弧BC的中点,连结AD并延长,与过C点的切线交于点P,OD与BC相交于点E,当AC=6,AB=10时,求切线PC的长
∵A、B、D、C共圆、弧CD=弧BD,∴∠CAD=∠BAD=∠BAC/2.
∵AB是⊙O的直径,∴AC⊥BC.
∴cos∠BAC=AC/AB=6/10=3/5、 cos∠BAD=AD/AB=AD/10.
显然有:cos∠BAC=cos2∠BAD=2(cos∠BAD)^2-1,∴2(AD/10)^2-1=3/5,
∴2(AD/10)^2=1+3/5=8/5,∴(AD/10)^2=4/5,∴AD/10=2/√5,∴AD=20/√5=4√5.
∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BD,∴由勾股定理,有:
BD=√(AB^2-AD^2)=√(100-16×5)=2√(25-20)=2√5.
∵弧CD=弧BD,∴CD=BD=2√5.
∵PC切⊙O于C,∴∠PCD=∠PAC,又∠CPD=∠APC,∴△PCD∽△PAC,
∴PD/PC=PC/PA=CD/AC=2√5/6=√5/3.
由PD/PC=√5/3,得:PD=(√5/3)PC,而PC/PA=PC/(PD+AD)=√5/3,
∴PC/[(√5/3)PC+AD]=√5/3,∴PC/[(√5/3)PC+4√5]=√5/3,
∴PC=(5/9)PC+20/3,∴(1-5/9)PC=20/3,∴(4/9)PC=20/3,∴PC=15.
(1)证明:∵点A是劣弧BC的中点, ∴∠ABC=∠ADB.(1分)
又∵∠BAD=∠EAB, ∴△ABE∽△ADB.(2分)
∴ AB AE = AD AB . ∴AB2=AE•AD.(3分)
(2)∵AE=2,ED=4, ∴AB2=AE•AD=AE(AE+ED)=2×6=12.
∴AB=2 3 (舍负).(4分)
∵B...
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(1)证明:∵点A是劣弧BC的中点, ∴∠ABC=∠ADB.(1分)
又∵∠BAD=∠EAB, ∴△ABE∽△ADB.(2分)
∴ AB AE = AD AB . ∴AB2=AE•AD.(3分)
(2)∵AE=2,ED=4, ∴AB2=AE•AD=AE(AE+ED)=2×6=12.
∴AB=2 3 (舍负).(4分)
∵BD为⊙O的直径,
∴∠A=90°.
又∵DF是⊙O的切线,
∴DF⊥BD.
∴∠BDF=90°. 在Rt△ABD中,tan∠ADB= AB AD = 2 /3 6 = 3 3 ,
∴∠ADB=30°.
∴∠ABC=∠ADB=30°.
∴∠DEF=∠AEB=60°,∠EDF=∠BDF-∠ADB=90°-30°=60°.
∴∠F=180°-∠DEF-∠EDF=60°.
∴△DEF是等边三角形.
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