已知a>0,b>o,a+b=1,求证:(1+1/a)(1+1/b)≥9要求写去步骤,1/a表示a分之1..

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/12 14:26:33
已知a>0,b>o,a+b=1,求证:(1+1/a)(1+1/b)≥9要求写去步骤,1/a表示a分之1..

已知a>0,b>o,a+b=1,求证:(1+1/a)(1+1/b)≥9要求写去步骤,1/a表示a分之1..
已知a>0,b>o,a+b=1,求证:(1+1/a)(1+1/b)≥9
要求写去步骤,1/a表示a分之1..

已知a>0,b>o,a+b=1,求证:(1+1/a)(1+1/b)≥9要求写去步骤,1/a表示a分之1..
(1+1/a)*(1+1/b)
=[1+(a+b)/a][1+(a+b)/b]
=(2+b/a)*(2+a/b)
=4+1+2(b/a+a/b)
>=4+1+2*2
=9
取等号时a=b=1/2

不等式两边分别乘以a 加b ,左边展开,右边还是大于等于9不变,因为a 加b 等于1,然后利用基本不等式可得

你试试用(a+b)(1+1/a)(1+1/b)

把它换为(1+a+b/a)(1+a+b/b)=(2+b/a)(2+a/b)
=5+2a/b+2b/a≥5+2倍根号4=9
用的是均值不等式

(1+1/a)(1+1/b)>=9
1+1/a+1/b+1/ab>=9
ab+b+a+1>=9ab
2>=8ab
即ab<=1/4
由a+b=1
可得(a+b)(a+b)-(a-b)(a-b)<=1
4ab<=1
ab<=1/4
得证

:(1+1/a)(1+1/b)=1+1/a+1/b+1/ab
=1+(a+b)/ab+1/ab
=1+2/ab
又1=a+b≥2√ab
得ab≤1/4
所以1+2/ab≥1+2/(1/4) =9