作业帮基本不等式：怎样求证(a+b)/2小于等于 根号下（(a2+b2)/2）注：a2为a的平方
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 10:33:22
基本不等式：怎样求证(a+b)/2小于等于 根号下（(a2+b2)/2）注：a2为a的平方
基本不等式：怎样求证(a+b)/2小于等于 根号下（(a2+b2)/2）注：a2为a的平方
基本不等式：怎样求证(a+b)/2小于等于 根号下（(a2+b2)/2）注：a2为a的平方
我经常看到类似的提问,能提出这种问题的人,恕我直言,既然都是“基本不等式”,先把它死记下来,硬背下来,随时活用---------记住我说的,这才是学习之道：
证明无非就是利用：
(a - b)² ≥0 ===> (a² + b²) ≥ 2ab ①
常见几种变形：
② 两边同时加 (a² + b²) ===> (a² + b²) ≥ (a + b)²/2
--------- 引申 √[(a² + b²)/2] ≥ (a + b)/2 ----------就是你要的
③ 用a、b替换a² 、b² ===> (a + b)/2 ≥√(ab) ------- 注意条件a、 b非负
④ 两边同时除b ===> a²/b ≥ 2a - b
⑤ ===> - (a² + b²)/2 ≤ ab ≤ (a² + b²)/2
还有很多
0 ≤ (a-b)^2
0 ≤ a^2+b^2-2ab
a^2+b^2+2ab ≤ 2a^2+2b^2 （两边同时加上a^2+b^2+2ab)
(a^2+b^2+2ab)/4 ≤ (a^2+b^2)/2 (两边同时除以4）
再两边开方，就是要证明的式子了
（a+b）/2≦根号下（a^2+b^2）/2,用反证法，从这个式子出发，两边同时平方，（a+b)^2/4≦（a^2+b^2）/2，打开括号两边整理得a^2+2ab+b^2≦2a^2+2b^2，再将左边式子移项到右边整理得0≦a^2-2ab+b^2，右边即为一个完全平方式，0≦(a-b)^2，这个式子恒成立，所以原式即成立。...
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（a+b）/2≦根号下（a^2+b^2）/2,用反证法，从这个式子出发，两边同时平方，（a+b)^2/4≦（a^2+b^2）/2，打开括号两边整理得a^2+2ab+b^2≦2a^2+2b^2，再将左边式子移项到右边整理得0≦a^2-2ab+b^2，右边即为一个完全平方式，0≦(a-b)^2，这个式子恒成立，所以原式即成立。
收起
左右平方，整理，最后化简成均值定理