作业帮抽象函数 难已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且f(-1/2)=0,当x>(-1/2)时,f(x)>0,(1)问f(x)是否为单调函数,并加以证明；(2)试举出具有这种性质的一个函数,并验证其满足题意
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 21:45:54
抽象函数 难已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且f(-1/2)=0,当x>(-1/2)时,f(x)>0,(1)问f(x)是否为单调函数,并加以证明；(2)试举出具有这种性质的一个函数,并验证其满足题意
抽象函数 难
已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且f(-1/2)=0,当x>(-1/2)时,f(x)>0,
(1)问f(x)是否为单调函数,并加以证明；
(2)试举出具有这种性质的一个函数,并验证其满足题意
抽象函数 难已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且f(-1/2)=0,当x>(-1/2)时,f(x)>0,(1)问f(x)是否为单调函数,并加以证明；(2)试举出具有这种性质的一个函数,并验证其满足题意
(1)已知f(x+y)=f(x)+f(y)-1对任意实数成立,
则用x-y来替换上式的x也成立,
得：f(x)=f(x-y)+f(y)-1
整理后：f(x)-f(y)=f(x-y)-1
设x1>x2
所以x1-x2>0
即x1-x2+(-1/2)>(-1/2)
所以f[x1-x2+(-1/2)]>0
而f[x1-x2+(-1/2)]=f(x1-x2)+f(-1/2)-1且f(-1/2)=0
所以f(x1-x2)-1>0
又f(x1-x2)-1=f(x1)-f(x2)------开头已证
所以f(x1)-f(x2)>0
即该函数单调增
(2)根据f(x+y)=f(x)+f(y)-1及已知条件 可知：
f(-1/2)=0 f(0)=1 f(1/2)=2 f(1/4)=3/2
于是猜测f(x)=2x+1
证：∵f(x)=2x+1;f(y)=2y+1
∴f(x)+f(y)-1=2(x+y)-1=f(x+y)
∴满足