24.求曲线y=ln x在区间(2,6)内的一条切线,使得该切线与直线x=2,x=6及曲线 所围成的图形的面积最小.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 07:24:53
24.求曲线y=ln x在区间(2,6)内的一条切线,使得该切线与直线x=2,x=6及曲线 所围成的图形的面积最小.

24.求曲线y=ln x在区间(2,6)内的一条切线,使得该切线与直线x=2,x=6及曲线 所围成的图形的面积最小.
24.求曲线y=ln x在区间(2,6)内的一条切线,使得该切线与直线x=2,x=6及曲线 所围成的图形的面积最小.

24.求曲线y=ln x在区间(2,6)内的一条切线,使得该切线与直线x=2,x=6及曲线 所围成的图形的面积最小.
y'=lnx
不妨设切点坐标为(x0,lnx0)
切线方程为y-lnx0=(x-x0)/x0即y=lnx0+x/xo-1
则图形面积为
S=
∫(lnx0+x/xo-1-lnx)dx(从2积到6 )
=4(lnx0-1)+16/x0-(6ln6-2ln2-4)
=4lnx0+16/x0-6ln6+2ln2
S'=4/x0-16/x0^2
=>x0=4时面积最小
此时切线方程为y=ln4+x/4-1

已知梯形的面积为为(上底+下底)/2*高,此处的高为固定值,那么“(上底+下底)/2”又为中线的长度,比较下即可知道,作任意横坐标不在(2,6)区间中点的点的切线,形成的图形的中线均大于x=4的y=ln4,所以 有最小面积的切线为y=ln4+x/4-1

初学者,对我来说太难了