作业帮一道抽象函数题,对f(x),x属于N*,且满足f(x+y)=f(x)+2f(xy)+f(y)记f(x)=g(x)f(1),求g（x）大家都是江湖中人，望伸手相助！
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 17:28:29
一道抽象函数题,对f(x),x属于N*,且满足f(x+y)=f(x)+2f(xy)+f(y)记f(x)=g(x)f(1),求g（x）大家都是江湖中人，望伸手相助！
一道抽象函数题,
对f(x),x属于N*,且满足f(x+y)=f(x)+2f(xy)+f(y)
记f(x)=g(x)f(1),求g（x）
大家都是江湖中人，望伸手相助！
一道抽象函数题,对f(x),x属于N*,且满足f(x+y)=f(x)+2f(xy)+f(y)记f(x)=g(x)f(1),求g（x）大家都是江湖中人，望伸手相助！
此题初一看是抽象函数题,实际上通过x属于N*,你就可以联想,实际上是套着函数的外衣,实际上是数列题,
f(x+y)=f(x)+2f(xy)+f(y)中,令y=1
得到
f(x+1)=f(x)+2f(x)+f(1)=3f(x)+f(1)
进一步整理,得到f(x+1)+0.5f(1)=3[f(x)+0.5f(1)]
所以数列{f(x)+0.5f(1)}可以看做等比数列
易写出通向f(x)+0.5f(1)=[1.5f(1)]*3^(x-1)
两边同时除以f(1),g(x)+0.5=1.5*3^(x-1)
g(x)=1.5*3^(x-1)-0.5
我是这么想的
因为f(x+y)=f(x)+2f(xy)+f(y), x属于N+
所以f(x)=f(x-1+1)=f(x-1)+2f(x-1)+f(1)=3f(x-1)+f(1)
同理f(x)=f(x-2+1)+2f(x-2+1)+f(1)=9f(x-2)+4f(1)
.
.
...
全部展开
我是这么想的
因为f(x+y)=f(x)+2f(xy)+f(y), x属于N+
所以f(x)=f(x-1+1)=f(x-1)+2f(x-1)+f(1)=3f(x-1)+f(1)
同理f(x)=f(x-2+1)+2f(x-2+1)+f(1)=9f(x-2)+4f(1)
.
.
.
那么第n项就是f(x-n+1)=(3^n)*f(x-n)+(3n-2)f(1)
当n=x-1时 则f(x)=3^(x-1)*f(1)+(3x-5）f(1)
将f(1)提出来 f(x)=f(1)*(3^(x-1)+3x-5)
则 g(x)=f(x)/f(1) g(x)=3^(x-1)+3x-5
不懂再问我吧
收起