作业帮已知数列{an}满足a1=1/2,sn=n^2an,求通项an
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 10:02:42
已知数列{an}满足a1=1/2,sn=n^2an,求通项an
已知数列{an}满足a1=1/2,sn=n^2an,求通项an
已知数列{an}满足a1=1/2,sn=n^2an,求通项an
∵s[n]=n^2a[n]
∴s[n+1]=(n+1)^2a[n+1]
将上述两式相减,得：
a[n+1]=(n+1)^2a[n+1]-n^2a[n]
(n^2+2n)a[n+1]=n^2a[n]
即：a[n+1]/a[n]=n/(n+2)
于是：【由于右边隔行约分,多写几行看得清楚点】
a[n+1]/a[n]=n/(n+2) 【这里保留分母】
a[n]/a[n-1]=(n-1)/(n+1) 【这里保留分母】
a[n-1]/a[n-2]=(n-2)/n
a[n-2]/a[n-3]=(n-3)/(n-1)
.
a[5]/a[4]=4/6
a[4]/a[3]=3/5
a[3]/a[2]=2/4 【这里保留分子】
a[2]/a[1]=1/3 【这里保留分子】
将上述各项左右各自累乘,得：
a[n+1]/a[1]=(1*2)/[(n+1)(n+2)]
∵a[1]=1/2
∴a[n+1]=1/[(n+1)(n+2)]
∴通项a[n]=1/[n(n+1)]
sn=n^2an ........S(n-1)=(n-1)^2a(n-1)
Sn-S(n-1)=an=n^2an-(n-1)^2a(n-1)
所以 an=[(n-1)^2/(n^2-1)]a(n-1)
a(n-1)={(n-2)^2/[(n-2)(n+2)]}a(n-2)
.
....
全部展开
sn=n^2an ........S(n-1)=(n-1)^2a(n-1)
Sn-S(n-1)=an=n^2an-(n-1)^2a(n-1)
所以 an=[(n-1)^2/(n^2-1)]a(n-1)
a(n-1)={(n-2)^2/[(n-2)(n+2)]}a(n-2)
.
.
.
.
a2=[1/(1+1)]a1
从上到下迭代下来an=[(n-1)/(n+1)]*[(n-2)/(n+2)]*.......*[1/(n+n-1)]*a1
an=
收起