求数列 1,3,7,13,21,31,……的前n项和.我要前N项的和！

求数列 1,3,7,13,21,31,……的前n项和.我要前N项的和！
求数列 1,3,7,13,21,31,……的前n项和.
我要前N项的和！

求数列 1,3,7,13,21,31,……的前n项和.我要前N项的和！
答案：n(n^2+2)/3
由题目可发现如下规律：
1=1×1-0
3=2×2-1；
7=3×3-2；
13=4×4-3；
21=5×5-4；
31=6×6-5；
…………
所以可得通项an=n^2-(n-1),因此
Sn=a1+a2+……+an
=(1+2^+3^+……+n^2)-(0+1+2+……+(n-1))
=n(n+1)(2n+1)/6-(n-1)n/2
=n(n^2+2)/3

A1=1
A2=A1+2
AN=A(N-1)+2(N-1)

a1=1
a2=a1+2
a3=a2+4
a4=a3+6
......
an=a(n-1)+2(n-1)
左右分别相加，得：
a1+a2+...+an=a1+a2+...+a(n-1)+[1+2+4+6+...+2(n-1)]
an=1+2+4+6+...+2(n-1)
=1+2[1+2+3+...+(n-1)]
=1...

全部展开

a1=1
a2=a1+2
a3=a2+4
a4=a3+6
......
an=a(n-1)+2(n-1)
左右分别相加，得：
a1+a2+...+an=a1+a2+...+a(n-1)+[1+2+4+6+...+2(n-1)]
an=1+2+4+6+...+2(n-1)
=1+2[1+2+3+...+(n-1)]
=1+2(1+n-1)(n-1)/2
=1+n(n-1)
=n^2-n+1
平方和公式：1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
Sn=(1^2+2^2+...+n^2)-(1+2+...+n)+n
=n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)/2+n
=n(n+1)/6*(2n+1-3)+n
=n(n+1)(n-1)/3+n
=n/3*(n^2-1+3)
=n(n^2+2)/3

收起

设数列第n项为an，前n项和为Sn
a2-a1＝2*1
a3-a2＝2*2
。。。
an-a(n-1)＝2*(n-1)
同项相加
an-a1＝2*(1+2+...+(n-1))
所以an=n^2-n+1
Sn=(1^2+2^2+...+n^2)-（1+2+...n）+n
=n*(n+1)*(2n+1)/6-n*(n+1)/2+n

An=1+(2+2n-2)*(n-1)/2 = n*n-n+1
Sn = n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)/2+n
= (n^3+2n)/3

1+2+4+6+8+10+……+2(n-1)

an=n^2-n+1

a2-a1=3-1=2=2*1
a3-a2=7-3=4=2*2
a4-a3=13-7=6=2*3
a5-a4=21-13=8=2*4
...
an-a(n-1)=2*(n-1)
相加相消有
an=a1+2*(1+2+3+...+n-1)=1+(n-1)n=n^2-n+1
Sn=a1+a2+...+an=(1^2+2^2+3^2+......

全部展开

a2-a1=3-1=2=2*1
a3-a2=7-3=4=2*2
a4-a3=13-7=6=2*3
a5-a4=21-13=8=2*4
...
an-a(n-1)=2*(n-1)
相加相消有
an=a1+2*(1+2+3+...+n-1)=1+(n-1)n=n^2-n+1
Sn=a1+a2+...+an=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-(1+2+...+n)+n
=n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)/2+n
=n*(n^2+2)/3
平方和公式n(n+1)(2n+1)/6 即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：n^2=n的平方)
http://baike.baidu.com/view/892600.htm

收起

要用到1^2+2^2+……+n^2的公式

我图片上有 

出现乱码的地方是省略号

1 3 7 13 21 31
2 4 6 8 10
差分方程
An-An-1=2(n-1)
An-1-An-2=2(n-2)
......
所以
An可求
继续 同法
可求Sn

An-An-1=2*(n-1)
An-1-An-2=2*(n-2)
An-2-An-3=2*(n-3)
~~
A2-A1=2*1所有等式相加得
An-A1=2*(n-1)+2*(n-2)……+2*1
An=n*(n-1)+1
Sn=1*n+1+2*2+3*3+……+n*n-1-2-……-n利用(1+n)立方可以推出平方和公式在此不计算啦，

（一）先求通项。易知，a2-a1=2×1,a3-a2=2×2,a4-a3=2×3,a5-a4=2×4,...an-a(n-1)=2(n-1).累加得：an-1=n(n-1).∴通项an=n²-n+1.(n=1,2,3,...).(二）通项an=n²-n+1.∴Sn=a1+a2+a3+...+an=[1²+2²+3²+...+n²]-[1+2+3+...+n]+n.=[n(n+1)(2n+1)/6]-[n(n+1)/2]+n=(n²+2)n/3.(n=1,2,3,...)

未知

二阶等差数列，先求通项为a_n=n^2-n+1,然后求和。结果是n(n^2+2)/3.

n(n^2+2)/3