求函数f（x,y）=x的平方+y的平方-xy 在区域x的平方+y的平方 ≤4 上的最大值与最小值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 16:25:28

求函数f（x,y）=x的平方+y的平方-xy 在区域x的平方+y的平方 ≤4 上的最大值与最小值
求函数f（x,y）=x的平方+y的平方-xy 在区域x的平方+y的平方 ≤4 上的最大值与最小值

求函数f（x,y）=x的平方+y的平方-xy 在区域x的平方+y的平方 ≤4 上的最大值与最小值
f(x,y)=x²+y²-xy
设：f1(x,y)=x²+y² ,f2(x,y)=x²+y²-2xy=(x-y)²
则：f=(f1+f2)/2
画图可知：f1是个抛物面,f2是顶点在f1上的对勾线
f1最大值是4,f2最大值是当x,y为±√2时f2=（2√2）²=8
所以f最大值是6

{x=2tcosθ
{y=2tsinθ
(0≤t≤1)(这是圆面的所有点的参数方程)
f(x,y)=4t²-4t²sinθcosθ
=4t²-2t²sin2θ
-2t²≤-2t²sin2θ≤2t²
2t²≤4t²-2t²sin2θ≤6t²
f(max)=6
f(min)=0

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