作业帮已知x,y∈R+,xy=4,求4x+9y的最小值及相应的x,y值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 14:22:14
已知x,y∈R+,xy=4,求4x+9y的最小值及相应的x,y值
已知x,y∈R+,xy=4,求4x+9y的最小值及相应的x,y值
已知x,y∈R+,xy=4,求4x+9y的最小值及相应的x,y值
xy=4
(4x)(9y)=144
由均值不等式得
(4x+9y)²≥4(4x)(9y)
(4x+9y)²≥4×144
(4x+9y)²≥576
x>0 y>0 4x+9y>0
4x+9y≥24
此时,4x=9y x=9y/4
xy=4
(9y/4)y=4
y²=16/9
y=4/3
x=4/y=4/(4/3)=3
提示：先利用已知条件将xy=4化为(4x)×(9y)的形式,这样就可以将4x看做a,9y看做b,直接利用均值不等式了.
当A,B,x,y∈R+， Ax + By ≥2√(ABxy)，当且仅当Ax = By 时等式成立
所以 4x+9y的最小值为：
4x + 9y ≥ 2√(4*9xy) = 6√(xy) ＝ 24
此时 4x = 9y 并且xy = 4
解得 x = 3 y = 4/3 (已经舍去负值)
再给你另外一个题目：
已知：...
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当A,B,x,y∈R+， Ax + By ≥2√(ABxy)，当且仅当Ax = By 时等式成立
所以 4x+9y的最小值为：
4x + 9y ≥ 2√(4*9xy) = 6√(xy) ＝ 24
此时 4x = 9y 并且xy = 4
解得 x = 3 y = 4/3 (已经舍去负值)
再给你另外一个题目：
已知：x > 0，y > 0，4x + 9y = 1，求1/x + 1/y的最小值.
解: 因为 4x + 9y = 1
所以 1/x + 1/y ＝(4x + 9y)/x + (4x + 9y)/y = 13 + 9y/x +4x/y
因为 x > 0，y > 0
所以 9y/x + 4x/y ≥2√[(9y/x) · (4x/y)] = 12(当且仅当 (9y/x) = (4x/y) ，
即 x = 1/10 且 y = 1/15 时取等号)．
所以 1/x + 1/y = 13 + 9y/x +4x/y ≥ 13 + 12=25，
即(1/x + 1/y)的最小值为25
本题的一种典型误解是：
1 = 4x + 9y≥2√(36xy) = 12√(xy)
即 1 / √(xy)≥12
所以 (1/x + 1/y) ≥ 2√[1/(xy)] ≥ 24．
其错误原因在于两次使用均值定理,其等号成立条件 4x = 9y 与 x = y 是相互矛盾的
收起
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