怎样求前n-1个自然数的平方和

怎样求前n-1个自然数的平方和
怎样求前n-1个自然数的平方和

怎样求前n-1个自然数的平方和
前n个自然数的平方和公式
1+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
或者减去n^2得到前n-1个自然数的平方和
或者把n=n-1代入公式得出
1+2^2+3^2+...+(n-1)^2=(n-1)(n-1+1)[(2(n-1)+1]/6=n(n-1)(2n-1)/6

1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
N-1就自己代下吧

教你一个核武器方法：
一般地，从 1 开始到某个数字的 几次方 的前多项和，结果是下式①
就是一直加到n的“几+1”次方：
Sn = A + B*n +C*n² + D*n³ + En⁴+......+ H*n^(几+1)次方 ①
其中系数A、B、C、..........、等等用前几项来确定

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教你一个核武器方法：
一般地，从 1 开始到某个数字的 几次方 的前多项和，结果是下式①
就是一直加到n的“几+1”次方：
Sn = A + B*n +C*n² + D*n³ + En⁴+......+ H*n^(几+1)次方 ①
其中系数A、B、C、..........、等等用前几项来确定
例如：
1. 计算：1 + 2 + 3 + 4 + .........+ n --------------一直加到n的“1 + 1 = 2”次方
S(n) = A + B*n + C*n²
当n = 1时， 1 = S(1) = A + B*1 + C*1² ②
当n = 2时， 1 + 2 = S(2) = A + B*2 + C*2² ③
当n = 3时， 1 +2 + 3= S(3) = A + B*3 + C*3² ④
最终求②、③、④可得：A = 0 ； B = 1 / 2； C = 1 / 2
所以 S(n) = A + B*n + C*n² = n(n+1) / 2
2. 计算：1² + 2² + 3² + 4² + .........+ n² --------------一直加到n的“2 + 1 = 3”次方
S(n) = A + B*n + C*n² + D*n³
当n = 1时， 1² = S(1) = A + B*1 + C*1² + D*1³ ⑤
当n = 2时， 1² + 2² = S(2) = A + B*2 + C*2² + D*2³ ⑥
当n = 3时， 1² +2² + 3²= S(3) = A + B*3 + C*3² + D*3³ ⑦
当n = 4时， 1² +2² + 3² +4²= S(4) = A + B*4 + C*4² + D*4³ ⑧
最终求⑤、⑥、⑦、⑧可得：A = 0 ； B = 1 / 6； C = 1 / 2； D = 1 / 3
所以 S(n) = A + B*n + C*n² + D*n³ = 0 + n/6 + n²/2 + n³/3 = n(n+1)(2n+1) / 6 ⑨
你这个只要用上⑨式减去最后一项n²即可
前n-1个自然数的平方和 = n(n+1)(2n+1) / 6 - n²
者直接用⑨式 = (n-1)n(2n-1) / 6
补充，做一道题目容易，掌握方法才是我们真正需要的，千万不要成为做题机器

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n=5, 5*2^4+1=5*16+1=81=9^2 !
求解过程如下.
由于 n*2^(n-1)+1 一定为奇数数,所以设这个完全平方数为 (2a+1)^2
(2a+1)^2 = n*2^(n-1)+1
4a^2+4a+1= n*2^(n-1)+1
4a^2+4a = n*2^(n-1)
4a(a+1) = n*2^(n-1)
a(a...

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n=5, 5*2^4+1=5*16+1=81=9^2 !
求解过程如下.
由于 n*2^(n-1)+1 一定为奇数数,所以设这个完全平方数为 (2a+1)^2
(2a+1)^2 = n*2^(n-1)+1
4a^2+4a+1= n*2^(n-1)+1
4a^2+4a = n*2^(n-1)
4a(a+1) = n*2^(n-1)
a(a+1) = n*2^(n-3)
所以得到 n*2^(n-3) 可写成两个相邻自然数的乘积形式,那么可知其中一个自然数是个奇数,从这个奇数里,我们无法提取2的因子,所以那个偶数就应该提供2的因子,而且应该尽可能的多,所以我们就从2的次方数开始考虑
2*3,不符合
4*5,得到n为5
同时也可以从n为3开始试
现在论证唯一性.由于2^n的递增速度比a^2要快,所以这两条区线在自然数集中只能有一个交点.
over

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