设平面直角坐标系xoy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图案与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.求：⑴求实数b的取值范围,⑵求圆C的方程,⑶问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/12 05:59:27

设平面直角坐标系xoy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图案与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.求：⑴求实数b的取值范围,⑵求圆C的方程,⑶问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关
设平面直角坐标系xoy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图案与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.求：⑴求实数b的取值范围,⑵求圆C的方程,⑶问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）?请证明你的结论.

设平面直角坐标系xoy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图案与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.求：⑴求实数b的取值范围,⑵求圆C的方程,⑶问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关
1,由题可知,∵函数和y轴必有一个交点,函数有两个根∴△>0即可求出b的范围
2.由OC=OB=3,知C 连接AC,在Rt△AOC中,OA=OC×tan∠ACO= ,故A 设所求二次函数的表达式为将C 代入得 ,解得 ,∴这个二次函数的表达式为 .（3）解法一：①当直线MN在x轴上方时,设所求圆的半径为R（R>0）,设M在N的左侧,∵所求圆的圆心在抛物线的对称轴上,∴N（R+1,R）代入中得,解得 .②当直线MN在x轴下方时,设所求圆的半径为 ,由①可知N ,代入抛物线方程可得 .（3）解法二：①当直线MN在x轴上方时,设所求⊙的半径为R（R>0）,,则和是方程的两根∴△= 由得,∴ .解得 .②当直线MN在x轴下方时,设所求圆的半径为 ,,则和是方程的两根∴△= ,解得 .由得,∴ .解得 .又∵ ,∴ .（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,把G（2,y）代入抛物线的解析式得G .由A 可得直线AG的方程为设 ,则 ,,当时,△APG的面积最大.此时P点的坐标为 ,△APG的面积最大值为 .

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1）利用△，△=4-4b，因为与两坐标轴有三个交点，所以与X轴有两个交点，三角>0，所以b<1.又因为它不能过原点（不然就是两个交点），所以范围是b<1且b≠0.
（2）设抛物线与X轴交于AB两点，则C一定在AB的垂直平分线，也就是抛物线的对称轴上。所以C横坐标为-2/2=-1，又过点A（根号下（1-b）-1,0），设圆的方程为（x+1)²+(y-m)²=r²，那么C(-1,m），
r=根号下【（根号下（1-b)-1+1）²+m²】=根号下（m²-b+1)
因为（0,b）在圆上，那么将(0,b）代入，有
1+（b-m）²=m²-b+1,b²+b=2bm，因为b≠0所以m=（b+1）/2
C（-1,(b+1)/2)，r²=（b²+5-2b)/4
方程为（x+1)²+(y-b/2-1/2)²=b²/4+5/4-b/2
（3）将圆的方程拆开整理得4x²+4y²+8x+4b(1-y)-4y=0，当y=1时b就被消掉了，所以恒过的这个定点的y=1，（因为它与b没关系），代回解x，得x1=0（舍，因为圆不能过原点），x2=-2
所以这个华丽的定点就是：（1，-2）！！！

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