设A,B都是n阶实矩阵,其中A正定,B半正定.证明：det(A+B)>det(A)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 04:17:37

设A,B都是n阶实矩阵,其中A正定,B半正定.证明：det(A+B)>det(A)
设A,B都是n阶实矩阵,其中A正定,B半正定.证明：det(A+B)>det(A)

设A,B都是n阶实矩阵,其中A正定,B半正定.证明：det(A+B)>det(A)
首先,由A正定,存在正定矩阵C使A = C².这个用可对角化证明:
由A为实对称阵,存在正交阵T使T^(-1)AT为对角阵.
又A正定,故T^(-1)AT的对角线上均为正数(特征值 > 0).
故存在对角线上均为正数的对角阵D,使T^(-1)AT = D² (取对角元的算术平方根即可).
取C = TDT^(-1),由T是正交阵,可知C是对称阵,又C与D相似,故C正定.
且C² = TDT^(-1)·TDT^(-1) = TD²T^(-1) = A.
于是A+B = C²+B = C(E+C^(-1)BC^(-1))C.
记G = C^(-1)BC^(-1).
取行列式得det(A+B) = det(C)·det(E+G)·det(C) = det(E+G)·det(C²) = det(E+G)·det(A).
由det(A) > 0,只需证明det(E+G) ≥ 1.
由G = C^(-1)BC^(-1),而C^(-1),B都是实对称阵,可知G' = C'^(-1)B'C'^(-1) = G.
G也是实对称阵且与B合同 (G = (C^(-1))'BC^(-1)).
由B半正定知G半正定,即G的特征值均非负,于是E+G的特征值均 ≥ 1.
行列式等于全体特征值的乘积,故det(E+G) ≥ 1.

设A,B都是n阶实矩阵,其中A正定,B半正定.证明：det(A+B)>det(A) 设实矩阵A,B都是正定矩阵,证明A+B也是正定矩阵. 设A,B均是n阶实对称矩阵,且A是正定矩阵,B是半正定矩阵,证明|A+B|＞|B| 几个证明题关于正定矩阵的若A使正定矩阵,证明A*也是正定矩阵若A,B都是n阶正定矩阵.证明A+B也是正定矩阵若A,B都是n阶正定矩阵,证明AB正定的充要条件是AB=BA设A可逆,证明ATA正定设A,B均为n阶正定矩阵,证明kA+lB也是正定矩阵,其中k,l为正数设A,B均是n阶正定矩阵,证明A+B是正定矩阵设AB均是n阶实对称矩阵,其中A正定,证明存在实数t使tA+B是正定矩阵设A,B是n阶正定矩阵,则AB是：A.实对称矩阵．B.正定矩阵．C.可逆矩阵．D.正交矩阵设A为n阶正定矩阵,矩阵B与A相似,则B必为 A,实对称矩阵 B正定矩阵 C可逆矩阵设A为n阶正定矩阵,矩阵B与A相似,则B必为 A,实对称矩阵 B正定矩阵 C可逆矩阵 D正交矩阵设A、B均为N阶实对称正定矩阵,证明：如果A—B正定,则B的逆阵减去A的逆阵正定. 设A,B都是正定矩阵.证明:A+B也是正定矩阵. 设A为m阶正定矩阵,B是m*n实矩阵,且R（B）=n,证明B'AB也是正定矩阵设A,A-E都是n阶正定矩阵,证明E-A^-1为正定矩阵线性代数中关于正定矩阵的一道题设A是n阶实对称矩阵,AB+B的转置乘A是正定矩阵,证明A可逆. A是n阶正定矩阵,B是n阶半正定矩阵,A^2=B^2.证明：B是正定矩阵,且A与B相似设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,证明:BTAB为正定矩阵的充要条件是rankB=n A,B都是n阶半正定矩阵,证明：AB的特征值都≥0 设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA.