作业帮简谐振动的周期公式推导T=2兀·sqr(m/k)不要用单摆的例子,也不要用等效圆什么的,我需要普适的推导,用高等数学没关系,我还是看得懂的.满意的话会加50左右
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 04:46:01
简谐振动的周期公式推导T=2兀·sqr(m/k)不要用单摆的例子,也不要用等效圆什么的,我需要普适的推导,用高等数学没关系,我还是看得懂的.满意的话会加50左右
简谐振动的周期公式推导
T=2兀·sqr(m/k)
不要用单摆的例子,也不要用等效圆什么的,我需要普适的推导,用高等数学没关系,我还是看得懂的.
满意的话会加50左右
简谐振动的周期公式推导T=2兀·sqr(m/k)不要用单摆的例子,也不要用等效圆什么的,我需要普适的推导,用高等数学没关系,我还是看得懂的.满意的话会加50左右
简谐振动的位移时间关系:x=Asinwt.(1)
求导得速度表达式:v=Awcoswt.(2)
再求导得加速度表达式:a=-Aw*wsinwt.(3)
由牛顿第二定律得F=Ma=-MAw*wsinwt.(4)
由(1)和(4)得F=-Mw*wx.(5)
简谐运动的定义:F=-kx.(6)
(5)(6) 两式相等得k=Mw*w.(7)
把（7）式中的角速度w=2π/T 代入就得到了你所需要的公式了．
设位移为x，那么速度为x‘，加速度为x’‘，对于质量为m的质点其受力为mx''，它必等于弹性力-kx（弹性恢复力正比于位移，负号表示力的方向与位移方向相反），即：
mx''=-kx
.设初始条件为t=0，x=x0；t=0，x'=0。
求解该二阶微分方程，得：
x=x0cos（√（k/m）t）=X0cosωt
因此，ω=sqr（k/m）
T=2π/ω=...
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设位移为x，那么速度为x‘，加速度为x’‘，对于质量为m的质点其受力为mx''，它必等于弹性力-kx（弹性恢复力正比于位移，负号表示力的方向与位移方向相反），即：
mx''=-kx
.设初始条件为t=0，x=x0；t=0，x'=0。
求解该二阶微分方程，得：
x=x0cos（√（k/m）t）=X0cosωt
因此，ω=sqr（k/m）
T=2π/ω=2π*sqr（m/k）
注：若初始条件不是上述的，这不过表达式中会出现一个初相位φ，不影响T的表达式。
收起
楼上的已经很标准了
我再补充一下:他的w是欧米咖,不是w.
最少有一个简单的模型
一般的描述方程的形式为:
m*x''+c*x'+k*x=0,其中m为质量,c为阻尼系数,K为弹簧刚度.
讨论物阻尼的情况.
m*x''+k*x=0
x''+k/m*x=0;
令:X(s)=L(x(t))(Laplace变换)
则有:
s^2*X+k/m*X=0,即有:
X=1/(s^2+k/m);
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最少有一个简单的模型
一般的描述方程的形式为:
m*x''+c*x'+k*x=0,其中m为质量,c为阻尼系数,K为弹簧刚度.
讨论物阻尼的情况.
m*x''+k*x=0
x''+k/m*x=0;
令:X(s)=L(x(t))(Laplace变换)
则有:
s^2*X+k/m*X=0,即有:
X=1/(s^2+k/m);
在做Laplace逆变换,得到:
x(t)=cos(sqr(k/m)t)(其中的一个解,可以变换系数得到sin的解).
由此:
圆频率omega=sqr(k/m)
则:
周期T=2*pi/omega=2*pi*sqr(m/k)
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如果你懂高等数学的话，那应该能看懂微分方程的求解。 推导如图所示
总的来说，用能量守恒，对1/4周期时间积分，再乘于4
已知：x=Asin(wt), 1/2mv^2+1/2k^2x=E=常数
======> v=sqrt[(2E-k^2x)/m]
===> v=dx/dt=wAcos(wt)
===> dt=dx/v
===> T/4=t-0=integral(0-->+A) {dx/v}
===> T/4=int...
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总的来说，用能量守恒，对1/4周期时间积分，再乘于4
已知：x=Asin(wt), 1/2mv^2+1/2k^2x=E=常数
======> v=sqrt[(2E-k^2x)/m]
===> v=dx/dt=wAcos(wt)
===> dt=dx/v
===> T/4=t-0=integral(0-->+A) {dx/v}
===> T/4=integral(-A-->+A) {dx/sqrt[(2E-k^2x)/m]}
....
....
===> T=2 pi sqrt(m/k)
收起
根据力学定律进行推导,任何形式的简谐振动最后都可以写成一个二阶微分方程的标准形式:x''+ω2x=0,x前面的系数就是圆频率ω的平方,而周期为T=2π/ω.
F=-kx=ma=mx''（x''为x的二阶导数，高等数学里的，高中竞赛也有的）。化简为x''+xk/m=0，用高等数学解，公式代一代就好了。解得x=cos[sqr(k/m)T+b],则T=2兀/sqr(k/m)=2兀·sqr(m/k)
。你说你看得懂的，就简述了。
我说一个高中可以接受的方法
等效圆
假设一个质点在做匀速圆周运动
(没有图只能就叙述一下了)
一条半径OA
假设该质点运动从A点开始运动。转了角度θ到P点。。
则P点到半径OA的距离d=R*sinθ
刚好符合简谐振动的时间位移图像
这样就可以把这个圆周运动轨迹上的点到初始半径OA的距离
等效地看成是在上下振动
因为简谐...
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我说一个高中可以接受的方法
等效圆
假设一个质点在做匀速圆周运动
(没有图只能就叙述一下了)
一条半径OA
假设该质点运动从A点开始运动。转了角度θ到P点。。
则P点到半径OA的距离d=R*sinθ
刚好符合简谐振动的时间位移图像
这样就可以把这个圆周运动轨迹上的点到初始半径OA的距离
等效地看成是在上下振动
因为简谐振动F＝-kx
那么这个圆周运动里
垂直指向半径OA的等效的回复力F2=kR*sinθ
根据角度关系。可以算出指向圆心的向心力
F向=F2/sinθ＝kR
根据F向=mw^2*R
得w=√(k/m)
所以T=2π/w=2π√(m/k)
http://hi.baidu.com/ggggwhw/blog/item/12eaa61afa2972118718bf1e.html图解
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简谐振动的位移时间关系:x=Asinwt..........(1)
求导得速度表达式:v=Awcoswt...............(2)
再求导得加速度表达式:a=-Aw*wsinwt........(3)
由牛顿第二定律得F=Ma=-MAw*wsinwt.........(4)
由(1)和(4)得F=-Mw*wx.....................(5)...
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简谐振动的位移时间关系:x=Asinwt..........(1)
求导得速度表达式:v=Awcoswt...............(2)
再求导得加速度表达式:a=-Aw*wsinwt........(3)
由牛顿第二定律得F=Ma=-MAw*wsinwt.........(4)
由(1)和(4)得F=-Mw*wx.....................(5)
简谐运动的定义:F=-kx.....................(6)
(5)(6) 两式相等得k=Mw*w..................(7)
把（7）式中的角速度w=2π/T 代入就得到了你所需要的公式了．
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一般的描述方程的形式为:
m*x''+c*x'+k*x=0,其中m为质量,c为阻尼系数,K为弹簧刚度.
讨论物阻尼的情况.
m*x''+k*x=0
x''+k/m*x=0;
令:X(s)=L(x(t))(Laplace变换)
则有:
s^2*X+k/m*X=0,即有:
X=1/(s^2+k/m);
在做Laplace逆变换,得...
全部展开
一般的描述方程的形式为:
m*x''+c*x'+k*x=0,其中m为质量,c为阻尼系数,K为弹簧刚度.
讨论物阻尼的情况.
m*x''+k*x=0
x''+k/m*x=0;
令:X(s)=L(x(t))(Laplace变换)
则有:
s^2*X+k/m*X=0,即有:
X=1/(s^2+k/m);
在做Laplace逆变换,得到:
x(t)=cos(sqr(k/m)t)(其中的一个解,可以变换系数得到sin的解).
由此:
圆频率omega=sqr(k/m)
则:
周期T=2*pi/omega=2*pi*sq总的来说，用能量守恒，对1/4周期时间积分，再乘于4
已知：x=Asin(wt), 1/2mv^2+1/2k^2x=E=常数
======> v=sqrt[(2E-k^2x)/m]
===> v=dx/dt=wAcos(wt)
===> dt=dx/v
===> T/4=t-0=integral(0-->+A) {dx/v}
===> T/4=integral(-A-->+A) {dx/sqrt[(2E-k^2x)/m]}
....
....
===> T=2 pi sqrt(m/k) r(m/k)
简谐振动的位移时间关系:x=Asinwt..........(1)
求导得速度表达式:v=Awcoswt...............(2)
再求导得加速度表达式:a=-Aw*wsinwt........(3)
由牛顿第二定律得F=Ma=-MAw*wsinwt.........(4)
由(1)和(4)得F=-Mw*wx.....................(5)
简谐运动的定义:F=-kx.....................(6)
(5)(6) 两式相等得k=Mw*w..................(7)
把（7）式中的角速度w=2π/T 代入就得到了你所需要的公式了．
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直接求解那个二阶微分方程就行了，别的什么都没有。微积分干这个事不是太简单了吗？
简谐振动的原始模型其实就是一个弹簧和一个小球，并假设只受弹力，
由牛顿第二定律f=ma可得kx=ma(x为小球的位移)，
将a等于x的二阶导代入kx=ma，并求解该微分方程，
为了使求解简单，则令w=sqr(m/k)，
之后就是代微分方程的公式，求出通解，
并代入初始条件，就可以求出简谐振动位移时间关系x=Asinwt，
sin函数的周期T=2兀/w...
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简谐振动的原始模型其实就是一个弹簧和一个小球，并假设只受弹力，
由牛顿第二定律f=ma可得kx=ma(x为小球的位移)，
将a等于x的二阶导代入kx=ma，并求解该微分方程，
为了使求解简单，则令w=sqr(m/k)，
之后就是代微分方程的公式，求出通解，
并代入初始条件，就可以求出简谐振动位移时间关系x=Asinwt，
sin函数的周期T=2兀/w，将w代入，则T=2兀·sqr(m/k）
以上是大物给出的大概推导过程，该推导的重点在于模型的建立，在固体物理中也会遇到同样的模型，后边的数学计算都是中规中矩的计算，没有什么难点（如果学了微分方程的话），简谐振动模型是研究粒子运动的基础，很重要
希望我的回答能帮上你的忙，祝你学习愉快
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