作业帮某仓库为了保持库内湿度和温度,四周墙上均按有自动通风设施,该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米,上部 CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点,△EMN是有电脑控制其形状变化的三角通风窗
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 19:55:02
某仓库为了保持库内湿度和温度,四周墙上均按有自动通风设施,该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米,上部 CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点,△EMN是有电脑控制其形状变化的三角通风窗
某仓库为了保持库内湿度和温度,四周墙上均按有自动通风设施,
该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米,上部 CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点,△EMN是有电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分不通风）MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆.
1、当MN和AB之间的距离为0.5米时,求此时△EMN的面积.
2、设MN与AB之间的距离为x米,试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数.
3、请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值,若有请求出这个最大值：若没有,请说明理由.
某仓库为了保持库内湿度和温度,四周墙上均按有自动通风设施,该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米,上部 CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点,△EMN是有电脑控制其形状变化的三角通风窗
（1）由题意,当MN和AB之间的距离为0.5米时,MN应位于DC下方,且此时△EMN中MN边上的高为0.5米．
∴S△EMN= 12×2×0.5=0.5（平方米）．
即△EMN的面积为0.5平方米．（2分）
（2）①如图1所示,当MN在矩形区域滑动,
即0＜x≤1时,
△EMN的面积S= 12×2×x=x；（3分）
②如图2所示,当MN在三角形区域滑动,即1＜x＜1+ 3时,
如图,连接EG,交CD于点F,交MN于点H,
∵E为AB中点,
∴F为CD中点,GF⊥CD,且FG= 3．
又∵MN∥CD,
∴△MNG∽△DCG．
∴ MNDC=GHGF,即 MN=2(3+1-x)3．（4分）
故△EMN的面积S= 12× 2(3+1-x)3×x
= -33x2+(1+33)x；（5分）
综合可得：S= {x,(0＜x≤1)-33x2+(1+33)x．(1＜x＜1+3)（6分）
（3）①当MN在矩形区域滑动时,S=x,所以有0＜S≤1；（7分）
②当MN在三角形区域滑动时,S=- 33x2+（1+ 33）x,
因而,当 x=-b2a=1+32（米）时,S得到最大值,
最大值S= 4ac-b24a= -(1+33)24×(-33)= 12+ 33（平方米）．（9分）
∵ 12+ 33＞1,
∴S有最大值,最大值为 12+ 33平方米．（10分）