在数列an中,已知a1=2,an+1=2an/an +1,令bn=an(an -1).求证bn的前n项和

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 02:56:50

在数列an中,已知a1=2,an+1=2an/an +1,令bn=an(an -1).求证bn的前n项和
在数列an中,已知a1=2,an+1=2an/an +1,令bn=an(an -1).求证bn的前n项和<3（an=2的n次方除以2的n次方 -1

在数列an中,已知a1=2,an+1=2an/an +1,令bn=an(an -1).求证bn的前n项和
证：
a(n+1)=2an/(an+1)
1/a(n+1)=(an+1)/(2an)=(1/2)(1/an)+1/2
1/a(n+1) -1=(1/2)(1/an) -1/2=(1/2)(1/an -1)
[1/a(n+1) -1]/(1/an -1)=1/2,为定值.
1/a1 -1=1/2 -1=-1/2,数列{1/an -1}是以-1/2为首项,1/2为公比的等比数列.
1/an -1=(-1/2)(1/2)^(n-1)=-1/2ⁿ
1/an=1 -1/2ⁿ=(2ⁿ-1)/2ⁿ
an=2ⁿ/(2ⁿ-1)
b1=a1(a1-1)=2×(2-1)=2
bn=an(an-1)=[2ⁿ/(2ⁿ-1)][2ⁿ/(2ⁿ-1) -1]=2ⁿ/(2ⁿ-1)²
b(n+1)/bn={2^(n+1)/ [2^(n+1) -1]²}/[2ⁿ/(2ⁿ-1)²]
=2×{(2ⁿ-1)/[2^(n+1) -1]}²
=2×{(1/2)[2^(n+1)-2]/[2^(n+1)-1]}²
=(1/2)×{1- 1/[2^(n+1) -1]}² /这一步是把括号里的1/2拿到括号外,括号里化简
<(1/2)×(1-0)² /这一步是放缩
=1/2
n=1时,b1=2<3
n≥2时,
b1+b2+...+bn<2+(4/9)×[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2) /这一步是将第二项及以后的和放缩
=2+8/9 -(8/9)×(1/2)^(n-1)
<2+8/9 /这是第三次放缩
=26/9<3
b1+b2+...+bn<3,不等式成立.

已知数列{an}中,a1=1/2,an+1+3an=0,an=( ) 在数列{An}中,已知A1=1,A2=5,An+2=An+1-An,则A2008等于在数列an中,a1=1,an=3an-1+2则an= 在数列an中,a1=2,且an+1=4an-2,求an 在数列an中,a1=0,an+1=2an+2,求an 在数列an中,a1=2 an+1=an+3n则an= 在数列{an}中,a1=1,an+1=an^2,求an. 在数列{an}中,a1=3,An+1=an^2求an. 在数列an中,已知a1=2,an+1=2an/an +1,令bn=an(an -1).求证bn的前n项和已知数列{an}中、a1=1,an+1=2(a1+a2+...+an)求an的通项公式关于数列 ..已知数列{An}中A1=1且An+1=2An+1求 An 已知数列｛an}中a1=2,an+1-an=3n,求数列｛an}的通项公式. 已知数列an中,a1=2,an+1=an/1+3an,求通项公式an 已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n-1,求通项公式已知数列{an}中,a1=1,a1a2a3……an=n^2,求an 已知数列{an中}a1=3.且an+1=an+2的n次方数列an中已知a1=3,且2an=SnSn-1,求通项公式an 已知数列｛an｝中,a(n+1)=an+2^n,a1=3,求an