作业帮两个自然数的和是60,它的最大公因数和最小公倍数的差是220,求这两个数?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 23:52:54
两个自然数的和是60,它的最大公因数和最小公倍数的差是220,求这两个数?
两个自然数的和是60,它的最大公因数和最小公倍数的差是220,求这两个数?
两个自然数的和是60,它的最大公因数和最小公倍数的差是220,求这两个数?
这两个数是28、32
设两个自然数的最大公因数P,令这两个数分别为A*P、B*P.
则有
A*P + B*P = (A + B)*P = 60,显然60含有这个最大公约数.
同理
最大公因数和最小公倍数的差 = A*B*P - P = (AB - 1)*P = 220,显然220也含有这个最大公约数.
则根据
60=2^2×3×5
220=2^2×5×11
推断这个最大公约数P可能是2、4、5、10、20.
又因为最小公倍数必然大于220.
由基本不等式,A + B≤ 60/P,A*B ≤ (60/2P)² = (30/P)²
A*B*P≤(30/P)²*P = 900/P
即当P≥5时,最小公倍数ABP小于180,必小于220,不符.
因此仅须验证P = 2、4即可.
①P = 2
(A + B)*2 = 60
(AB - 1)*2 = 220
即
A + B = 30
AB = 111
即A、B是一元二次方程X² - 30X + 111 = 0的两个整数解.经求根公式验证无整数解.
②P = 4
(A + B)*4 = 60
(AB - 1)*4 = 220
即
A + B = 15
AB = 56
即A、B是一元二次方程X² - 15X + 56 = 0的两个整数解.经求得A、B分别 = 7、8
因此这两个自然数就是7*4 = 28,8*4 = 32
jdf;sghbtrgndfjnh;djbn;fjkbhtuiop;hlfjkn .cvkgh;bnxfhbjkldfnh;l
28和32
4和56
http://zhidao.baidu.com/question/272215251.html
设两个自然数的最大公因数为k,这两个自然数分别为kx、ky，（x，y互质）
kx+ky=60 →→ k(x+y)=60=2*2*3*5
kxy-k=220 →→ k(xy-1)=220=2*2*5*11
比较因数可知：
k是2*2*5的因数，...
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http://zhidao.baidu.com/question/272215251.html
设两个自然数的最大公因数为k,这两个自然数分别为kx、ky，（x，y互质）
kx+ky=60 →→ k(x+y)=60=2*2*3*5
kxy-k=220 →→ k(xy-1)=220=2*2*5*11
比较因数可知：
k是2*2*5的因数，
记 C=2*2*5/k，C只能在2*2*5的因数1、2、4、5、10、20中取值
则 x+y=3C；xy-1=11C ，
由x+y=3C得y=3C-x 代入xy-1=11C，得
x^2-3C+（11C+1）=0
取C=1、2、4、10、20，易知x均无整数解
取C=5，则 x^2-15+56=0
（x-7）（x-8）=0
x=7，y=15-7=8
或 x=8，y=15-8=7
k=60/（7+8）=4
kx,ky分别是7*4=28和8*4=32
故这两个自然数分别是28和32
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