人教版的~公式啊· 以及必考的 着急~

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双曲线方程典例分析
江西省永丰中学 刘 忠
一、求双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程 或 （a、b>0）,通常是利用双曲线的有关概念及性质再 结合其它知识直接求出a、b或利用待定系数法.
例1 求与双曲线 有公共渐近线,且过点 的双曲线的共轭双曲线方程.
解 令与双曲线 有公共渐近线的双曲线系方程为 ,将点 代入,得 ,∴双曲线方程为 ,由共轭双曲线的定义,可得此双曲线的共轭双曲线方程为 .
评 此例是“求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程”类型的题.一般地,与双曲线 有公共渐近线的双曲线的方程可设为 （kR,且k≠0）；有公共焦点的双曲线方程可设为 ,本题用的是待定系数法.
例2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为 ,它的两焦点分别为F1、F2,直线 过F2且与直线F1F2的夹角为 ,且 ,与线段F1F2的垂直平分线的交点为P,线段PF2与双曲线的交点为Q,且 ,建立适当的坐标系,求双曲线的方程.
解 以F1F2的中点为原点,F1、F2所在直线为x轴建立坐标系,则所求双曲线方程为 （a>0,b>0）,设F2（c,0）,不妨设 的方程为 ,它与y轴交点 ,由定比分点坐标公式,得Q点的坐标为 ,由点Q在双曲线上可得 ,又 ,
∴ ,,∴双曲线方程为 .
评 此例用的是直接法.
二、双曲线定义的应用
1、第一定义的应用
例3 设F1、F2为双曲线 的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=900,求ΔF1PF2的面积.
解 由双曲线的第一定义知,,两边平方,得 .
∵∠F1PF2=900,∴ ,
∴ ,
∴ .
2、第二定义的应用
例4 已知双曲线 的离心率 ,左、右焦点分别为F1、F2,左准线为l,能否在双曲线左支上找到一点P,使 是 P到l的距离d与 的比例中项?
解 设存在点 ,则 ,由双曲线的第二定义,得 ,
∴ ,,又 ,
即 ,解之,得 ,
∵ ,
∴ ,矛盾,故点P不存在.
评 以上二例若不用双曲线的定义得到焦半径 、
或其关系,解题过程将复杂得多.
三、双曲线性质的应用
例5 设双曲线 （ ）的半焦距为c,
直线l过（a,0）、（0,b）两点,已知原点到 的距离为 ,
求双曲线的离心率.
解析 这里求双曲线的离心率即求 ,是个几何问题,怎么把
题目中的条件与之联系起来呢?如图1,
∵ ,,,由面积法知ab= ,考虑到 ,
知 即 ,亦即 ,注意到a

石头听了，感谢不尽。那僧便念咒书符，大展幻术，将一
块大石登时变成一块鲜明莹洁的美玉，且又缩成扇坠大小的可
佩可拿。那僧托于掌上，笑道：“形体倒也是个宝物了！还只
没有实在的好处，须得再镌上数字，使人一见便知是奇物方妙
。然后携你到那昌明隆盛之邦，诗礼簪缨之族，花柳繁华地，
温柔富贵乡去安身乐业。”石头听了，喜不能禁，乃问：“不
知赐了弟子那几件奇处...

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石头听了，感谢不尽。那僧便念咒书符，大展幻术，将一
块大石登时变成一块鲜明莹洁的美玉，且又缩成扇坠大小的可
佩可拿。那僧托于掌上，笑道：“形体倒也是个宝物了！还只
没有实在的好处，须得再镌上数字，使人一见便知是奇物方妙
。然后携你到那昌明隆盛之邦，诗礼簪缨之族，花柳繁华地，
温柔富贵乡去安身乐业。”石头听了，喜不能禁，乃问：“不
知赐了弟子那几件奇处，又不知携了弟子到何地方？望乞明示
，使弟子不惑。”那僧笑道：“你且莫问，日后自然明白的说
着，便袖了这石，同那道人飘然而去，竟不知投奔何方何舍。
后来，又不知过了几世几劫，因有个空空道人访道求仙，忽从
这大荒山无稽崖青埂峰下经过，忽见一大块石上字迹分明，编
述历历。空空道人乃从头一看，原来就是无材补天，幻形入世
蒙茫茫大士渺渺真人携入红尘，历尽离合悲欢炎凉世态的一段
此系身前身后事，倩谁记去作奇传？诗后便是此石坠落之乡投
胎之处，亲自经历的一段陈迹故事。其中家庭闺阁琐事，以及
闲情诗词倒还全备，或可适趣解闷，然朝代年纪、地舆邦国反
空空道人遂向石头说道：“石兄，你这一段故事，据你自己说
有些趣味，故编写在此，意欲问世传奇。据我看来，第一件，
无朝代年纪可考；第二件，并无大贤大忠理朝廷治风俗的善政
，其中只不过几个异样女子，或情或痴，或小才微善，亦无班
姑蔡女之德能。我纵抄去，恐世人不爱看呢。”石头笑答道：
“我师何太痴耶！若云无朝代可考，今我师竟假借汉唐等年纪
添缀，又有何难？但我想，历来野史，皆蹈一辙，莫如我这不
此套者，反倒新奇别致，不过只取其事体情理罢了，又何必拘
拘于朝代年纪哉！再者，市井俗人喜看理治之书者甚少，爱适
趣闲文者特多。历来野史，或讪谤君相，或贬人妻女，奸淫凶
恶，不可胜数。更有一种风月笔墨，其淫秽污臭，屠毒笔墨，
坏人子弟，又不可胜数。至若佳人才子等书，则又千部共出一
套，且其中终不能不涉于淫滥，以致满纸潘安、子建、西子
君、不过作者要写出自己的那两首情诗艳赋来，故假拟出男女
二人名姓，又必旁出一小人其间拨乱，亦如剧中之小丑然。且
鬟婢开口即者也之乎，非文即理。故逐一看去，悉皆自相矛盾
，大不近情理之话，竟不如我半世亲睹亲闻的这几个女子，虽
不敢说强似前代书中所有之人，但事迹原委，亦可以消愁破闷
；也有几首歪诗熟话，可以喷饭供酒。至若离合悲欢，兴衰际
遇，则又追踪蹑迹，不敢稍加穿凿，徒为供人之目而反失其真
传者。今之人，贫者日为衣食所累，富者又怀不足之心，纵然
一时稍闲，又有贪淫恋色，好货寻愁之事，那里去有工夫看那
理治之书？所以我这一段故事，也不愿世人称奇道妙，也不定
要世人喜悦检读，只愿他们当那醉淫饱卧之时，或避事去愁之
际，把此一玩，岂不省了些寿命筋力？就比那谋虚逐妄，却也
省了口舌是非之害，腿脚奔忙之苦。再者，亦令世人换新眼目
不比那些胡牵乱扯，忽离忽遇，满纸才人淑女、子建文君红娘
空空道人听如此说，思忖半晌，将《石头记》再检阅一遍，因
见上面虽有些指奸责佞贬恶诛邪之语，亦非伤时骂世之旨；及
至君仁臣良父慈子孝，凡伦常所关之处，皆是称功颂德，眷眷
无穷，实非别书之可比。虽其中大旨谈情，亦不过实录其事，
又非假拟妄称，一味淫邀艳约、私订偷盟之可比。因毫不干涉
时世，方从头至尾抄录回来，问世传奇。从此空空道人因空见
色，由色生情，传情入色，自色悟空，遂易名为情僧，改《石
头记》为《情僧录》。东鲁孔梅溪则题曰《风月宝鉴》。后因
曹雪芹于悼红轩中披阅十载，增删五次，纂成目录，分出章回
当日地陷东南，这东南一隅有处曰姑苏，有城曰阊门者，最是
红尘中一二等富贵风流之地。这阊门外有个十里街，街内有个
仁清巷，巷内有个古庙，因地方窄狭，人皆呼作葫芦庙。庙旁
住着一家乡宦，姓甄，名费，字士隐。嫡妻封氏，情性贤淑，
深明礼义。家中虽不甚富贵，然本地便也推他为望族了。因这

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一、求双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程 或 （a、b>0），通常是利用双曲线的有关概念及性质再 结合其它知识直接求出a、b或利用待定系数法.
例1 求与双曲线 有公共渐近线，且过点 的双曲线的共轭双曲线方程.
解 令与双曲线 有公共渐近线的双曲线系方程为 ，将点 代入，得 ，∴双曲线方程为 ，由共轭双曲线的定义，可得此双曲线的共轭双曲线方程为 .
评 此例...

全部展开

一、求双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程 或 （a、b>0），通常是利用双曲线的有关概念及性质再 结合其它知识直接求出a、b或利用待定系数法.
例1 求与双曲线 有公共渐近线，且过点 的双曲线的共轭双曲线方程.
解 令与双曲线 有公共渐近线的双曲线系方程为 ，将点 代入，得 ，∴双曲线方程为 ，由共轭双曲线的定义，可得此双曲线的共轭双曲线方程为 .
评 此例是“求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程”类型的题.一般地，与双曲线 有公共渐近线的双曲线的方程可设为 （kR，且k≠0）；有公共焦点的双曲线方程可设为 ，本题用的是待定系数法.
例2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为 ，它的两焦点分别为F1、F2，直线 过F2且与直线F1F2的夹角为 ，且 ， 与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且 ，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.
解 以F1F2的中点为原点，F1、F2所在直线为x轴建立坐标系，则所求双曲线方程为 （a>0，b>0），设F2（c，0），不妨设 的方程为 ，它与y轴交点 ，由定比分点坐标公式，得Q点的坐标为 ，由点Q在双曲线上可得 ，又 ，
∴ ， ，∴双曲线方程为 .
评 此例用的是直接法.
二、双曲线定义的应用
1、第一定义的应用
例3 设F1、F2为双曲线 的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=900，求ΔF1PF2的面积.
解 由双曲线的第一定义知， ，两边平方，得 .
∵∠F1PF2=900，∴ ，
∴ ，
∴ .
2、第二定义的应用
例4 已知双曲线 的离心率 ，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线左支上找到一点P，使 是 P到l的距离d与 的比例中项？
解 设存在点 ，则 ，由双曲线的第二定义，得 ，
∴ ， ，又 ，
即 ，解之，得 ，
∵ ，
∴ ， 矛盾，故点P不存在.
评 以上二例若不用双曲线的定义得到焦半径 、
或其关系，解题过程将复杂得多.
三、双曲线性质的应用
例5 设双曲线 （ ）的半焦距为c，
直线l过（a，0）、（0，b）两点，已知原点到 的距离为 ，
求双曲线的离心率.
解析 这里求双曲线的离心率即求 ，是个几何问题，怎么把
题目中的条件与之联系起来呢？如图1，
∵ ， ， ，由面积法知ab= ，考虑到 ，
知 即 ，亦即 ，注意到a四、与双曲线有关的轨迹问题
例6 以动点P为圆心的圆与⊙A： 及⊙B： 都外切，求点P的轨迹方程.
解 设动点P（x，y），动圆半径为r，由题意知 ， ， .
∴ .∴ ， ，据 双曲线的定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，方程为 ： .
例 7 如图2，从双曲线 上任一点Q引直线 的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.
解析 因点P随Q的运动而运动，而点Q在已知双曲线上，
故可从寻求 Q点的坐标与P点的坐标之间的关系入手，用转移法达到目的.
设动点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ，
则 N点的坐标为 .
∵点 N在直线 上，∴ ……①
又∵PQ垂直于直线 ，∴ ，
即 ……②
联立 ①、②解得 .又∵点N 在双曲线 上，
∴ ，
即 ，化简，得点P的轨迹方程为： .
五、与双曲线有关的综合题
例8 已知双曲线 ，其左右焦点分别为F1、F2，直线l过其右焦点F2且与双曲线 的右支交于A、B两点，求 的最小值.
解 设 ， ，（ 、 ）.由双曲线的第二定义，得
， ，
∴ ，
设直线l的倾角为θ，∵l与双曲线右支交于两点A、B，∴ .
①当 时，l的方程为 ，代入双曲线方程得
.
由韦达定理得： .
∴ .
②当 时，l的方程为 ，∴ ，∴ .
综①②所述，知所求最小值为 .

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