作业帮一道简单的线性代数证明题设A是n阶方阵,x是n维列向量.若对某一自然数m,有[A^(m-1)]x≠0,(A^m)x=0.证明向量组x,Ax,……[A^(m-1)]x线性无关.证明：设有数组k1.k2,...,km,使得k1x+k2Ax+...+km[A^(m-1)]x=0上式两端
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 17:25:32
![一道简单的线性代数证明题设A是n阶方阵,x是n维列向量.若对某一自然数m,有[A^(m-1)]x≠0,(A^m)x=0.证明向量组x,Ax,……[A^(m-1)]x线性无关.证明：设有数组k1.k2,...,km,使得k1x+k2Ax+...+km[A^(m-1)]x=0上式两端](/uploads/image/z/6127760-56-0.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E7%AE%80%E5%8D%95%E7%9A%84%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%A2%98%E8%AE%BEA%E6%98%AFn%E9%98%B6%E6%96%B9%E9%98%B5%2Cx%E6%98%AFn%E7%BB%B4%E5%88%97%E5%90%91%E9%87%8F.%E8%8B%A5%E5%AF%B9%E6%9F%90%E4%B8%80%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0m%2C%E6%9C%89%5BA%5E%28m-1%29%5Dx%E2%89%A00%2C%28A%5Em%29x%3D0.%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%90%91%E9%87%8F%E7%BB%84x%2CAx%2C%E2%80%A6%E2%80%A6%5BA%5E%28m-1%29%5Dx%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%97%A0%E5%85%B3.%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E8%AE%BE%E6%9C%89%E6%95%B0%E7%BB%84k1.k2%2C...%2Ckm%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97k1x%2Bk2Ax%2B...%2Bkm%5BA%5E%28m-1%29%5Dx%3D0%E4%B8%8A%E5%BC%8F%E4%B8%A4%E7%AB%AF)
一道简单的线性代数证明题设A是n阶方阵,x是n维列向量.若对某一自然数m,有[A^(m-1)]x≠0,(A^m)x=0.证明向量组x,Ax,……[A^(m-1)]x线性无关.证明：设有数组k1.k2,...,km,使得k1x+k2Ax+...+km[A^(m-1)]x=0上式两端
一道简单的线性代数证明题
设A是n阶方阵,x是n维列向量.若对某一自然数m,有[A^(m-1)]x≠0,(A^m)x=0.证明向量组x,Ax,……[A^(m-1)]x线性无关.
证明：设有数组k1.k2,...,km,使得k1x+k2Ax+...+km[A^(m-1)]x=0
上式两端左乘A^(m-1)],并利用(A^m)x=0得k1[A^(m-1)]x=0
我想问一下怎么用(A^m)x=0得k1[A^(m-1)]x=0?应用了哪条性质?
一道简单的线性代数证明题设A是n阶方阵,x是n维列向量.若对某一自然数m,有[A^(m-1)]x≠0,(A^m)x=0.证明向量组x,Ax,……[A^(m-1)]x线性无关.证明：设有数组k1.k2,...,km,使得k1x+k2Ax+...+km[A^(m-1)]x=0上式两端
k1x+k2Ax+...+km[A^(m-1)]x=0
上式两端左乘A^(m-1)]之后
除k1[A^(m-1)]x这项之外的其他项,就变成
【k2Ax+...+km[A^(m-1)]x】*A^(m-1)
=k2(A^m)x+k3【A^（m+1)】x+...+km[A^(2m-2)]x
因为(A^m)x=0,所以上式
=k2(A^m)+k3*（A^m)x*A+k4*（A^m)x*A^2+……+km*（A^m)x*[A^(m-2)]
=k2*0 +k3*0*A +k4*0*A^2+……+km*0*[A^(m-2)]
=0
k1x+k2Ax+...+km[A^(m-1)]x=0 ,该式两端左乘A^(m-1)]得，
k1A^(m-1)]x+k2A^mx+...+km[A^(2m-2)]x=0,
上式除第一项外,每一项A的指数不小于m,由,(A^m)x=0.可知除第一项外其他其项均为零,即
k1A^(m-1)]x+0+0+...+0=0
于是得k1A^(m-1)]x=0,又[A^(m-1)]x≠0,故得k1=0.
明白了没有?
答：k1x+k2Ax+...+km[A^(m-1)]x=0 左乘A^(m-1)]后为：
k1[A^(m-1)]x+k2(A^(m-1))Ax+k3(A^(m-1))A^2x+....+km(A^(m-1))(A^m-1)x,由A^m=0可知：k2(A^(m-1))Ax=k2A^mx=0;k3=A^(m+1)x=0;以此类推，以后的全是0.因原式右边为0，所以：左边只剩k1[A^(m-1)]x肯定应为0。