求一个简单的定积分积分号0到1 (x^n-1)/(x-1) dx ,这积分能不能求出来的?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/08 22:11:00
求一个简单的定积分积分号0到1 (x^n-1)/(x-1) dx ,这积分能不能求出来的?

求一个简单的定积分积分号0到1 (x^n-1)/(x-1) dx ,这积分能不能求出来的?
求一个简单的定积分
积分号0到1 (x^n-1)/(x-1) dx ,这积分能不能求出来的?

求一个简单的定积分积分号0到1 (x^n-1)/(x-1) dx ,这积分能不能求出来的?
(x^n - 1)/(x-1)
可用等比数列求和公式
得 (x^n-1)/(x-1)=1+x+x^2+…………+x^(n-1),x≠1
于是∫1,0(x^n-1)/(x-1)dx = ∫1,0(1+x+x^2+…………+x^(n-1)) = n-1

(x^n-1)/(x-1)=1+x+x^2+…………+x^(n-1)
∫1,0(x^n-1)/(x-1)dx
=∫1,0(1+x+x^2+…………+x^(n-1))
=x+x^2/2+x^3/3+……+x^n/n+C [0,1]
=1+1/2+1/3+……+1/n

问题还说简单...真矛盾
(x^n-1)/(x-1) =x^0+...+x^(n-1)
一项一项的积分就好啦

原式=积分号(x-1)(x^n-1+x^n-2+……..x^2+x+1)/(x-1)dx
=x^n/n+x^n-1/n-1+....x(0-1)
=1+1....+1=n
关键是分子的化简