高中数学必修一到必修四 所有证明三点共线的方法一定要全面.你看我悬赏这么高 是不是.

高中数学必修一到必修四 所有证明三点共线的方法一定要全面.你看我悬赏这么高 是不是.
高中数学必修一到必修四 所有证明三点共线的方法
一定要全面.你看我悬赏这么高 是不是.

高中数学必修一到必修四 所有证明三点共线的方法一定要全面.你看我悬赏这么高 是不是.
1、利用梅涅劳斯定理的逆定理
例1、如图1,圆内接ΔABC为不等边三角形,过点A、B、C分别作圆的切线依次交直线BC、CA、AB于 、 、 ,求证：、 、 三点共线.
记 ,易知
又易证 .则 .
同理 .故 .
由梅涅劳斯定理的逆定理,知 、 、 三点共线.
2、利用四点共圆（在圆内,主要由角相等或互补得到共线）
例2 、如图,以锐角ΔABC的一边BC为直径作⊙O,过点A作⊙O的两条切线,切点为M、N,点H是ΔABC的垂心.求证：M、H、N三点共线.(96中国奥数)
证明：射线AH交BC于D,显然AD为高.
记AB与⊙O的交点为E,易知C、H、E三点共线.
联结OM、ON、DM、DN、MH、NH,
易知 ,
∴A、M、O、D、N五点共圆,更有A、M、D、N四点共圆,
此时,
因为 （B、D、H、E四点共圆）,
即 ；又 ,所以 ,故
同理,.
因为 ,所以,M、H、N三点共线.
3、利用面积法
如果 ,点E、F位于直线MN的异侧,则直线MN平分线段EF,即M、N与EF的中点三点共线.
例3\x09、如图,延长凸四边形ABCD的边AB、DC交于点E,延长边AD、BC交于点F,又
M、N、L分别是AC、BD、EF的中点,求证：M、N、L三点共线.
证明：设BC的中点为O,辅助线如图所示,
由 可知,
点O必在 内,此时,
同理,.
因此 .此时,直线MN平分EF,即M、N、L三点共线.
注：利用梅涅劳斯定理的逆定理也可证明此题.
4、利用同一法
尽管同一法是一种间接证法,但它却是一各很有用的证法,观察例4后,你会感到,同一法在证明三点共线问题时,也有其用武之地.
例4\x09、如图4(a),凸四边形ABCD的四边皆与⊙O相切,切点分别为P、M、Q、N,设PQ与
MN交于S,证明：A、S、C三点共线.
证明：如图4(b),令PQ与AC交于 ,
易证 互补.
而 ,则
,
故 .再令MN与AC交于 .同理可得
但 ,所以 .利用合比性质得,.
因此,,可断定 与 必重合于点S,故A、S、C三点共线.
注：观察本题图形,显然还可证得B、S、D三点共线；换言之,AC、BD、PQ、MN四线共点.
5、利用位似形的性质
如果 与 是两个位似三角形,点O为位似中心,那么不仅A、 、O；B、 、O；C、 、O分别三点共线,而且 、 的两个对应点与位似中心O也三点共线,位似形的这种性质,对于证明三点共线,颇为有用.
例5、如图,内部的三个等圆⊙ 、⊙ 、⊙ 两两相交且都经过点P,其中每两个圆都与 的一边相切,已知O、I分别是 的外心、内心,证明：I、P、O三点共线.
证明：联结 、 、 .由已知得
、 、 .
可断定 与 是一对位似三角形,
且易知 的内心I是两者的位似中心.
因为⊙ 、⊙ 、⊙ 为等圆,
即 ,
所以点P是 的外心.又点O是 的外心,故P、O两点是两个位似三角形的对应点,利用位似形的性质,即得I、P、O三点共线.
6、\x09利用反证法
有的几何题利用直接证法很难,而用反证法却能很快达到预期目的.
例6、如图,梯形ABCD中、DC//AB,对形内的三点 、 、 ,如果到四边距离之和皆相等,那么,、 、 三点共线,试证之.
证明：先看 两点,
设直线 分别交AD、BC于M 、N,
于 ,于 ,
于 ,于 .
因为DC//AB,则点 到AB、CD的距离之和等于点 到AB、CD的距离之和.由已知可得 .过点 作AD的平行线、过点 作BC的平行线得交点P（由于AD与BC不平行）.记 交 于G,交 于H.
观察上式有 .所以,.
因为 有两条高 ,所以,是等腰三角形,则 .
故 .
再用反证法证明点 一定在 上：假设点 不在 上,联结 并延长分别交AD、BC于 ,易知点 在MN的异侧；因为点 到AD、BC的距离之和等于点 到AD、BC的距离之和,由上述证明过程知必有 .
事实上,观察图形只能得到 ,矛盾,这说明点 必在 上,即MN上,因此 、 、 三点共线.
7、\x09用塞瓦定量的逆定理
变三点共线为三线共点,利用塞瓦定理的逆定理,在圆内接凸六边形ABCDEF中,若
,则AD、BE、CF三线共点；反之亦然,利用这个结果来证明某些三点共线问题,可立竿见影.
例7、如图7,凸四边形ABCD内接于圆,延长AD、BC交于点P,作PE、PF切圆于E、F,又AC与BD交于K,证明：E、K、F三点共线.
联结AE、ED、CF、FB得凸六边形ABFCDE.
欲证E、K、F三点共线,即AC、BD、EF三线共点,
只须证 .
注意到 .
则 .又PE=PF,
则 .
故 .
因此,AC、BD、EF三线共点,即E、K、F三点共线.