一个命题的否定与它的否命题有什么关系 若p则q形式的命题的否命题和否定分别是什么

一个命题的否定与它的否命题有什么关系 若p则q形式的命题的否命题和否定分别是什么
一个命题的否定与它的否命题有什么关系 若p则q形式的命题的否命题和否定分别是什么

一个命题的否定与它的否命题有什么关系 若p则q形式的命题的否命题和否定分别是什么
一.判断与命题
1.判断的意义和结构
判断是对思维对象有所断定的思维形式.“断定”就是肯定或否定,不模棱两可.例如,“是无理数”,“△ABC不是直角三角形”,这种判断是判断某一属性是否属于这个或那个事物；又如,“三角形三内角之和等于180°”,这种判断是判断各个思维对象间的关系；再如,“直线c经过直线a与b的交点p”,这种判断是判断各思维对象间的制约关系.
任何判断都应具有两个基本特征：一是一定“要有所断定”.不能作出肯定或否定的思维形式,不能称其为判断.例如,“△ABC是直角三角形吗?”就不是判断.二是有真假之分.如果一个判断符合客观实际,它就是真实的,否则就是虚假的.例如,“三角形三内角之和大于180°”就是一个假判断.
判断一般采用“主词——系词——宾词”的结构.主词（S）是思维的对象,即需要作出判断的事物或现象,宾词（P）是用来表达对象具有或不具有某种属性,系词是用来联接主词和宾词的,通常用“是”或“不是”来表示肯定或否定.
判断按其性质来分有肯定判断和否定判断,按判断中的主词外延是宾词外延的全部或是部分来分,有全称判断和特称判断,如果将两种分类结合起来就可以形成下面四种判断：
(1)全称肯定判断,记作A.其逻辑形式是“所有S都是P”,简记为SAP.
(2)全称否定判断,记作E.其逻辑形式是“所有S都不是P”,简记为SEP.
(3)特称肯定判断,记作I.其逻辑形式是“有些S是P”,简记为SIP.
(4)特称否定判断,记作O.其逻辑形式是“有些S不是P”,简记为SOP.
2.命题及其基本运算
表示判断的陈述语句称为命题,数学中表示判断的陈述语句称为数学命题,也简称为命题.命题中常用的连接词有“非”、“或”、“且”、“蕴含”、“等值”等等.判断有真假之分,命题也有真假之分,而在结构上可分为简单命题与复合命题两种类型.数学中把真实性为人们所公认而又不加以证明的数学命题,称为公理.在数学科学体系中,一般要求公理具有无矛盾性、独立性和完备性,但在中学数学教材体系中,考虑到学生接受能力,往往把一些公理体系之外的真命题也作为公理,即不一定严格要求公理体系的独立性.数学中,根据已知概念和已知的命题,遵照逻辑规律运用逻辑推理方法已证明真实性的命题称为定理.
命题的运算就是通过命题的符号化、形式化,由若干个命题,构建新的命题.命题演算的关键是逻辑联结词的运用.因此,命题运算实际上是命题的逻辑联结.命题的基本运算有：否定、合取、析取、蕴涵、当且仅当等.
对于命题p、q、r,如果p是一个真命题,则记为p=1；如果q是一个假命题,则记为q=1.
(1)否定（非“「”）.命题p与联表3-1
结词“「”构成复合命题“「p”.「pP「p
称为p的否定式,也称为负命题,其10
真值表为表3-1.这里表明,若命题01
p为真,则「p为假；若命题p为假,则「p为真.
（2）合取（与、且“∧”）.两个命题p、q用“∧”联结起来,构成复合命题“p∧q”.p∧q称为p、q的合取式,p、q称为合取项.命题p∧q又称为联言命题,其真值表为表3-2.这里表明,若p、q都真,则p∧q为真；若p、q中至少有一个为假,则p∧q为假.
表3-2表3-3
pqp∧qpqp∨q
111111
100101
000011
000000
（3）析取（或“∨”）.两个命题p、q用“∨”联结起来,构成复合命题“p∨q”.p∨q称为p、q的析取式,p、q称为析取项.命题p∨q又称为选言命题,其真值表为表3-3.这里表明,若p、q中至少一个为真,则p∨q为真；只有p、q都假,才有p∨q为假.
（4）蕴涵（如果（若）…那么（则）…“→”）.给定两个命题p、q用“→”联结起来,构成复合命题“p→q”.p→q称为p、q的蕴涵式,p称为条件（或前件）,q称为结论（或后件）.命题p→q又称为假言命题,其真值表为表3-4.这里表明,除去p真q假,则p→q为假外,其余情况p→q都真.
表3-4表3-5
pqp→qpqpq
111111
100100
011`010
001001
（5）当且仅当（“”）.给定两个命题p、q用“”联结起来,构成复合命题“pq”.pq称为p、q的等价式.命题pq又称为充要条件假言命题,其真值表为表3-5.这里表明,若p、q同真或同假时,pq为真,其余皆假.
运用以上介绍的五种逻辑联词以及否定式、合取式、析取式、蕴涵式和等价式的真值表,还可以进行命题的多种复合运算,并确定运算结果所得命题的真值表.在命题的演算过程中,还要遵循一系列的运算律,这些请读者参阅有关逻辑学文献.
二.命题的四种基本形式及其关系
数学命题的四种基本形式如下：
原命题p→q；逆命题q→p；
否命题「p→「q；逆否命题「q→「p.
它们之间的关系可用图解表示如下图：
原命题互逆逆命题
p→qq→p
互互
互为逆否
否否
否命题逆否命题
「p→「q互逆「q→「p
图3-8
以上四种命题的真假,有一定的逻辑联系.互为逆否的两个命题是逻辑等价的,可通过真值表或命题运算律加以验证.例如
表3-6
pqp→q「q「p「q→「p
111001
100100
011011
001111
可见,p→q与「q→「p等价,即p→q与「q→「p同真同假.
为了加深对上面的真值表的理解,我们来看下面三组例子：
例1.（1）若三角形中有两边相等,则其对角相等.（真）
（2）若三角形中有两角相等,则其对边也相等.（真）
（3）若三角形中有两边不等,则其对角也不相等.（真）
（4）若三角形中有两角不等,则其对边也不相等.（真）
例2.（1）若两角为对顶角,则此二角相等.（真）
（2）若两角相等,则此二角为对顶角.（假）
（3）若两角不是对顶角,则此二角不相等.（假）
（4）若两角不相等,则此二角不是对顶角.（真）
例3.（1）若四边形的四边相等,则为正方形.（假）
（2）若四边形为正方形,则四边相等.（真）
（3）若四边形四边不等,则不是正方形.（真）
（4）若四边形不是正方形,则四边不等.（假）
从以上三例可以看出：
1.原命题真,它的逆命题和否命题未必真；原命题假,它的逆命题和否命题未必假.因此,一个定理的逆命题和否命题,必须通过逻辑证明才能判定其是否成立.若成立,则分别称为逆定理和否定理.
2.互为逆否的两个命题,真则同真,假则同假.由此可以得出,要证明一个命题为真,如果直接证明有困难或太繁时,可以转而证其逆否命题为真.
三.命题的制作
因为互为逆否的两个命题逻辑等价,所以实质不同的命题,只有原命题与逆命题两种.一个真命题的逆命题,只有经过论证后才知其真假.如果一个定理的逆命题为真,就得到原定理的逆定理.为了研究一个定理的逆定理,就要研究逆命题的制作方法.
1.当命题的条件和结论都是一个简单命题时,只要将它们互换位置就可以得到原命题唯一的一个逆命题.例如,命题“对顶角相等”,它的逆命题是“相等的角是对顶角”,这个逆命题显然是不正确的.
2.当命题的条件和结论不只是一个简单命题时,将命题条件和结论中的简单命题任意进行交换位置,就可以得到多个逆命题.例如,原定理“圆内垂直平分弦的直线必过圆心且平分该弦所对的弧”,不难得到它的五个逆定理：
圆内过圆心且平分弦的直线必垂直该弦且平分该弦所对的弧；
圆内平分弦和这弦所对弧的直线必过圆心且垂直该弦；
圆内过圆心且垂直弦的直线必平分该弦和该弦所对的弧；
圆内垂直弦且平分该弦所对弧的直线必过圆心且平分该弦；
圆内过圆心且平分弦所对弧的直线必垂直平分该弦.
四.命题的同一原理
互为逆否的两个命题是等价的,互逆或互否的两个命题未必等价.但是,当一个命题的条件和结论都唯一存在,它们所指的概念的外延完全相同,是同一概念时,这个命题和它的逆命题等价,这叫做同一原理.例如,“等腰三角形顶角的平分线是底边上的中线”是真命题,它的条件和结论都是唯一的,条件和结论所指的概念的外延完全相同,是同一条线段,它的逆命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的平分线”也必定为真命题.
同一原理是同一法论证的逻辑根据.对于符合同一原理的两个互逆命题,在判断它们真假时,只要判定其中的一个即可.在制作逆命题时,如果原定理的条件和结论都唯一存在,就可直接写出它的逆命题而断言其成立.例如,对于上面的例子,由同一原理,便可直接得到它的五个逆定理.
五.命题的条件
为了简明地表达命题中条件和结论的逻辑关系,我们把数学命题的条件分为以下几种：
若命题p→q真,则称p是q成立的充分条件；
若命题q→p真,则称p是q成立的必要条件；
若命题p→q与q→p同真,则称p是q成立的充分必要条件,简称充要条件；
若命题p→q与q→p同假,则称p是q成立的既不充分也非必要条件.
在教学中,还必须区分以下两种类型的条件.
若命题p→q真而q→p假,则称p是q成立的充分而非必要条件,
若命题p→q假而q→p真,则称p是q成立的必要而非充分条件.
以上所揭示的命题的条件和结论之间的内在联系,可以用来指导数学证明.要证明一个命题成立,只要证明能使这个命题成立的一个充分条件成立就足够了；要证明一个命题不成立,是要指出的这个命题成立的一个必要条件不具备就可以了.
六.分断式命题
数学上,对于由n个命题pⅰ→qⅰ（i=1,2,…,n）联合起来叙述而成的一个命题K,而这n个命题的条件pⅰ和结论qⅰ（i=1,2,…,n）所含事项,双方都面面俱到（各种可能情况全都说到,没有遗漏）且互不相容（彼此之间互相排斥,没有重复）时,则称命题K为分断式命题.
例如,“在△ABC中,若AB＜AC,则∠C＜∠B；若AB＝AC,则∠C＝∠B；若AB＞AC,则∠C＞∠B.”就是一个分断式命题.
分断式命题与它的逆命题等价.设原命题pi→qi（i=1,2,…,n）为真,从中取出n–1个,比如pi→qi（i=2,…,n）.则由分断式命题的定义,这n–1个命题联立起来,实质上就是「p1→「q1为真.因为互为逆否的命题等价,所以q1→p1为真.同理有qK→pk为真.所以,逆命题qi→pi（i=1,2,…,n）为真.
由此可知,一个分断式命题如果是正确的,它的逆命题（也是分断式命题）也一定正确,而且可以直接当逆定理来用.在中学数学中,还有不少分断式命题.例如,一元二次方程根的判别定理,直线的垂线与斜线的定理,点（或直线）与圆的位置关系定理,两圆的位置关系的定理等等.