作业帮从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少1/5.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 05:59:29
从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少1/5.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建
从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少1/5.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1/4.(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an、bn的表达式.(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?（lg2=0.3）
从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少1/5.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建
(1)由题意可知从第二年起每年投入是上年的4/5,所以每年投入依次成等比数列,且公比q＝4/5
则n年内总投入an＝800*[1-(4/5)^n]/(1-4/5)=4000*[1-(4/5)^n];
而从第二年起每年收入都是上年的5/4,所以每年收入也依次成等比数列,且公比q＝5/4
则n年内总收入bn=400*[1-(5/4)^n]/(1-5/4)=-1600*[1-(5/4)^n]
(2)设经过n年后旅游业的总收入才能超过总投入,那么
-1600*[1-(5/4)^n]>4000*[1-(4/5)^n]
即(5/4)^n -1>5/2 - (5/2)*(4/5)^n
(5/4)^n + (5/2)*(4/5)^n-7/2>0
(5/4)^(2n) -7/2*(5/4)^n +5/2>0
即2*(5/4)^(2n) -7*(5/4)^n +5>0
[2*(5/4)^n -5]*[(5/4)^n -1]>0 (*)
因为n为正整数,所以恒有(5/4)^n >1
则解不等式(*)得：
2*(5/4)^n -5>0
即(5/4)^n>5/2
log(底数5/4) (5/4)^n>log(底数5/4) (5/2)
n>log(底数5/4) (5/2)=lg (5/2) / lg (5/4)
n>(lg 5 - lg 2) / (lg 5 - 2lg2)
因为lg2=0.3,所以lg 5=1-lg2=0.7
则n>(0.7-0.3)/(0.7-0.6)=4
所以至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入