作业帮高阶微分求通解
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 04:38:04
高阶微分求通解
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换元
t=y‘
t'/***=x
积分，再积分
q=y'
原式为
xq'=√(1+q^2)
分离变量
dq/√(1+q^2)=dx/x
其中
∫dq/√(1+q^2)
=∫[q+√(1+q^2)]/[q+√(1+q^2)]×√(1+q^2) dq
上下同除√(1+q^2)
得
∫[1+q/(1+q^2)]/[q+√(1+q^2)] dq
而ln[q+√(1+...
全部展开
q=y'
原式为
xq'=√(1+q^2)
分离变量
dq/√(1+q^2)=dx/x
其中
∫dq/√(1+q^2)
=∫[q+√(1+q^2)]/[q+√(1+q^2)]×√(1+q^2) dq
上下同除√(1+q^2)
得
∫[1+q/(1+q^2)]/[q+√(1+q^2)] dq
而ln[q+√(1+q^2)]的导数为
[1+q/√(1+q^2)]/[q+√(1+q^2)]
则
∫dq/√(1+q^2)
=ln│q+√(1+q^2)│
(PS：这是一个公式)
所以原式
ln│q+√(1+q^2)│=ln│x│+lnC
q+√(1+q^2)=Cx
两边平方
Cx=t
√(1+q^2)=t-q
两边平方
1+q^2=t^2-2tq+q^2
t^2-2tq=1
q=2(t^2-1)/t
=C(x-1/x)
y=∫q=C∫(x-1/x)dx
=x^2-ln│x│+C
所有的C全部集中上式中的C去了
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