作业帮数学问题:(有图)四棱锥P-ABCD的底面是正方形3,(有图)四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD=2,点M,N分别在棱PD,PC上,且PC⊥平面AMN (1)求证;AMPD (2)求二面角P-AM-N的大小 (3)求直线CD与平面AMN
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 04:27:31
数学问题:(有图)四棱锥P-ABCD的底面是正方形3,(有图)四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD=2,点M,N分别在棱PD,PC上,且PC⊥平面AMN (1)求证;AMPD (2)求二面角P-AM-N的大小 (3)求直线CD与平面AMN
数学问题:(有图)四棱锥P-ABCD的底面是正方形
3,(有图)四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD=2,点M,N分别在棱PD,PC上,
且PC⊥平面AMN
(1)求证;AMPD
(2)求二面角P-AM-N的大小
(3)求直线CD与平面AMN所成角的大小
最好解析一下
数学问题:(有图)四棱锥P-ABCD的底面是正方形3,(有图)四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD=2,点M,N分别在棱PD,PC上,且PC⊥平面AMN (1)求证;AMPD (2)求二面角P-AM-N的大小 (3)求直线CD与平面AMN
（1）证明：∵ABCD是正方形,∴CD⊥AD,
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD.
∴CD⊥平面PAD
∵AM 平面PAD,∴CD⊥AM.
∵PC⊥平面AMN,∴PC⊥AM.
∴AM⊥平面PCD.
∴AM⊥PD.
（2）∵AM⊥平面PCD（已证）.
∴AM⊥PM,AM⊥NM.
∴∠PMN为二面角P-AM-N的平面角.
∵PN⊥平面AMN,∴PN⊥NM.
在直角△PCD中,CD=2,PD=2根号2 ,∴PC=2根号3 .
∵PA=AD,AM⊥PD,∴M为PD的中点,PM=PD/2=根号2
由Rt△PMN∽Rt△PCD,得 ∴ MN=CD*PM/PC.
cosPMN=MN/PM=CD/PC=2/2根号3=根号3/3,角PMN=arccos(根号3/3)
即二面角P—AM—N的大小为arccos(根号3/3) .
（3）延长NM,CD交于点E.
∵PC⊥平面AMN,∴NE为CE在平面AMN内的射影
∴∠CEN为CD（即（CE）与平在AMN所成的角.
∵CD⊥PD,EN⊥PN,∴∠CEN=∠MPN.
在Rt△PMN中,
sinMPN=MN/PM=根号3/3
因为角MPN在0到派/2之间,所以角MPN=arcsin(根号3/3)
∴CD与平面AMN所成的角的大小为 arcsin(根号3/3)