作业帮（高二以上学历,请进!）已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为根号15,求抛物线方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 00:25:19
（高二以上学历,请进!）已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为根号15,求抛物线方程.
（高二以上学历,请进!）
已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为根号15,求抛物线方程.
（高二以上学历,请进!）已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为根号15,求抛物线方程.
设抛物线方程为 y^2=2px
联立y=2x+1 得4x^2+(4-2p)x+1=0 p>4或p
设y^2=2px
y=2x+1代入y^2=2px
(2x+1)^2=2px
4x^2+4x+1=2px
4x^2+(4-2p)x+1=0
由根与系数的关系
x1+x2=(2p-4)/4
x1*x2=1/4
|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(2p-4)^2/16-1
=(4p^2-16p+16)/16-1
全部展开
设y^2=2px
y=2x+1代入y^2=2px
(2x+1)^2=2px
4x^2+4x+1=2px
4x^2+(4-2p)x+1=0
由根与系数的关系
x1+x2=(2p-4)/4
x1*x2=1/4
|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(2p-4)^2/16-1
=(4p^2-16p+16)/16-1
=(p^2-4p)/4
|AB|=√15
|AB|^2=15
(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=15
[y2-y1=(2x2+1)-(2x1+1)=2(x2-x1)]
5(x2-x1)^2=15
(p^2-4p)/4=3
p^2-4p-12=0
(p-6)(p+2)=0
p=6或p=-2
可知y^2=12x或y^2=-4x
收起
上面的算法太麻烦了，对直线稍微变形下就可以大大减少计算量。。。 见图片。（点开最大化）
真麻烦~~
（~表示平方）
设抛物线的方程为y~=2px 设交点为A(X1,Y1) B(X2,Y2) 弦为AB=根号15
所以根号下（X1+X2)~+(Y1+Y2)~=根号15
联立方程y~=2px和y=2x+1 得出X1+X2=-1/2(P+2) X1×X2=1/4
(X1+X2)~-4X1×X2=(X1-X2)~=1/4(P+2)~-1
根据y...
全部展开
真麻烦~~
（~表示平方）
设抛物线的方程为y~=2px 设交点为A(X1,Y1) B(X2,Y2) 弦为AB=根号15
所以根号下（X1+X2)~+(Y1+Y2)~=根号15
联立方程y~=2px和y=2x+1 得出X1+X2=-1/2(P+2) X1×X2=1/4
(X1+X2)~-4X1×X2=(X1-X2)~=1/4(P+2)~-1
根据y=2x+1将（X1+X2)~+(Y1+Y2)~整理得=5×（X1-X2）~=15
所以(X1-X2)~=3
所以(X1-X2)~=1/4(P+2)~-1=3
解得P=6或-2
所以y~2=12x或y~2=-4x
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