证明:对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/14 07:06:46

证明:对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上
证明:对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上

证明:对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上
设有四边形ABCD,其对角线　AC ⊥ BD.
求证：四边形ABCD各边中点在同一圆上.
证明：设点 E、F、G、H分别为线段AB、BC、CD、DA的中点.连接线段EF、FG、GH、HA.
　　1、观察△ABD,可知线段 EH 即为△ABC的中位线,所以：
　　①　EH ∥且＝ ½BD；
　　同理,可证明：
　　②　FG ∥且＝ ½BD；
　　③　EF ∥且＝ ½AC；
　　由　①、②　得：
　　EH ∥且＝ FG；
　　∴④　四边形 EFGH 为平行四边形；
　　2、已知：
　　⑤　AC ⊥ BD；
　　由　①、③、⑤　得：
　　⑥　EH ⊥ EF,即∠HEF = 90°；
　　由　④、⑥　得：
　　四边形　EFGH 为矩形；
　　显然,矩形的四个顶点必然位于一个圆上（①　矩形对角线等长且相互平分；②　到同一点距离相等且不为零的点共圆）.
　　命题证毕.

启东上的题吧！
证明：
∵对角线互相垂直
∴四边形应为菱形
又∵菱形四边相等
∴圆点到各边的中点距离相等（圆半径相等）
∴对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上

椭圆吧

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