作业帮若函数f（x）=（x^2+a)/x 在区间[2,3]上递增,则常数a的取值范围是_____.谢啦）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 18:19:45
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若函数f（x）=（x^2+a)/x 在区间[2,3]上递增,则常数a的取值范围是_____.谢啦）
若函数f（x）=（x^2+a)/x 在区间[2,3]上递增,则常数a的取值范围是_____.谢啦）
若函数f（x）=（x^2+a)/x 在区间[2,3]上递增,则常数a的取值范围是_____.谢啦）
f(x)=x+a/x 要满足在[2 3]递增的话
分类讨论1 a=0时 f(x)=x 满足
2 a＞0 则为双钩函数 当x=a^1/2时取极小值 故a^1/2≤2 则0＜a≤4
3 a＜0 x为增函数 a/x为增函数 故f(x)在[2 3]还是增函数 所以 符合题意
综上 a≤4
可以不用求导
用单调性的定义
设x1，x2属于[2,3]且x1>x2
于是得f(x1)-f(x2)>0
代入后可以算出a的范围
fx=x+a/x,当a＞0，根据倒和函数图像，当x＞根号a时函数递增，所以根号a≤2，a≤4，a等于0，显然成立，a＜0，根据倒差函数，函数在＞0时恒递增，所以a≤4
f(x)=x+a/x，典型的反比例函数，f'(x)=1-a/(x^2)，令f'(x)在[2,3]上≥0就可以了，所以a的取值为a≤9
f(x)=x^2+a/x还是f(x)=(x^2+a)/x，如果是前者：
f(x)=x²＋a／x
f'(x)=2x-a/x²
∵f(x)在区间[2，3]上递增
∴x∈【2,3】时，f'(x)≥0恒成立
即2x-a/x³≥0，a≤2x³恒成立
需a≤(2x³)min
∵x∈【2,3】∴x³...
全部展开
f(x)=x^2+a/x还是f(x)=(x^2+a)/x，如果是前者：
f(x)=x²＋a／x
f'(x)=2x-a/x²
∵f(x)在区间[2，3]上递增
∴x∈【2,3】时，f'(x)≥0恒成立
即2x-a/x³≥0，a≤2x³恒成立
需a≤(2x³)min
∵x∈【2,3】∴x³∈[8,27]
2x³∈[16,54]
∴(2x³)min=16
∴a≤16为常数a的取值范围
后者同样道理，就是判断f'(x)≥0时a的范围
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