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来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 11:28:00
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由题设,得a(n+2)-a(n+1)≤a(n+1)-a(n).
又a(20)-a(10)=a(20)-a(19)+···+a(11)-a(10)≤10[a(11)-a(10)]①
又a(10)-a(1)=a(10)-a(9)+···+a(2)-a(1)≥9[a(10)-a(9)]②
由①②得[a(20)-a(10)]/10≤a(11)-a(10)③
[a(1)-a(10)]/9≤a(9)-a(10)④
③+④得
[a(20)-a(10)]/10+[a(1)-a(10)]/9≤a(9)+a(11)-2a(10)≤0
解得a(10)≥28.故a(10)的最小值为28.
1.可以讨论a1和a2之间的大小关系，如果a2小于等于a1，由条件可以推出a3小于等于a2（这里的证明可以利用a3+a1<=2a2<=a2+a1得到）；同理，可以继续推出a4小于等于a3...即数列为单调递减数列，与a20=58矛盾。所以a2应大于a1，同理继续推出数列为严格单调递增数列
2.补充定义a0=-2，由条件不难推出2a10>=a20+a0=56，所以a10最小值为28（这步不知...
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1.可以讨论a1和a2之间的大小关系，如果a2小于等于a1，由条件可以推出a3小于等于a2（这里的证明可以利用a3+a1<=2a2<=a2+a1得到）；同理，可以继续推出a4小于等于a3...即数列为单调递减数列，与a20=58矛盾。所以a2应大于a1，同理继续推出数列为严格单调递增数列
2.补充定义a0=-2，由条件不难推出2a10>=a20+a0=56，所以a10最小值为28（这步不知道清不清楚），然后验证一下是否能取到这个最小值（想办法构造a2到a19即可）
3.至于a0是如何构造出来的，可以这么想：从条件来看，这个数列每相邻两项的差是递减或不变的，那么要使a10最小，那么从第一个差开始就要尽可能小；从1开始试，显然a20不可能为58，试到差为3且为等差时恰好满足a20=58，所以构造a0为-2。（这么说清楚吗？当然a2-a1完全可以比3大，而后面的相邻差就要做相应的调整，使之满足相邻差不变或递减且a20=58）
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因为(an+2+an)/2≥an+1,
所以
(an+2)-(an+1)≥(an+1)-an 等于的时候为等差数列
又因为a1=1,a20=58,
所以d=(a20-a1)/19=3
所以a10最小=28
记点A1（1，1），A2（2，a2），A3（3，a3），…，A19（19，a19），A20（20，58），
则过点A1A20的直线l的方程为y=3x-2，可证明点A2，A3，…，A19均不可能在直线l的右下方区域．
而当点A2，A3，…，A19均在直线l上时，数列{an}构成等差数列，显然有an+2+an2=an+1，当然满足an+2+an2≤an+1，易得公差为3，a10=28，...
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记点A1（1，1），A2（2，a2），A3（3，a3），…，A19（19，a19），A20（20，58），
则过点A1A20的直线l的方程为y=3x-2，可证明点A2，A3，…，A19均不可能在直线l的右下方区域．
而当点A2，A3，…，A19均在直线l上时，数列{an}构成等差数列，显然有an+2+an2=an+1，当然满足an+2+an2≤an+1，易得公差为3，a10=28，由于点A10不可能在直线l的右下方区域，所以a10≥3×10-2=28，所以a10的最小值为28．
故答案为：28．
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